Domanda su integrali di funzioni razionali
Ciao a tutti,
ho una domanda:
Sto svolgendo il seguente esercizio: $\int2/(tanx+1)^2 dx$.
Devo risolverlo con il metodo della sostituzione (è la consegna dell'esercizio).
(Anzi, facciamo che vi faccio un paio di domande
)
Penso a cosa sostituire: $\tanx = t$ oppure $(\tanx+1)^2$. Provo prima con la seconda e dopo un po' mi fermo pensando che non sia stata una scelta molto furba! riprovo con la seconda e le cose mi sembrano piu' "familiari"...
Quando faccio l'integrazione per parti, m scelgo una $F$ ed una $g$ in modo che la $F$ derivata "migliori" e la $g$ integrata non crei troppi casini. C'è un modo simile di procedere anche per sostituzione? Come posso farmi un idea di cosa sia meglio sostituire?
Sostituendo $\tanx=t$ ottengo: $x=\arctant => dx=1/(1+x^2)dt$ e riscrivo l'integrale:
$\int2/(1+t)^2 * 1/(1+t^2)dt$... ora, non capisco come si spieghi il seguente passaggio: decomposizione in fratti semplici, ossia trovare delle costanti del tipo:
$A/(1+t)+B/(1+t)^2+(Ct+D)/(t^2+1)$, faccio il comun denominatore, raccolgo ed ottengo le soluzioni:
${(A=1),(B=1),(C=-1),(D=0):}$ il che coincide con le schede... pero' ...perchè devo fare proprio così?
perchè $(1+t)^2$ è stato scomposto in $A/(1+t)+B/(1+t)^2$ e non ad esempio $A/(1+t)+B/(1+t)$?
Perchè $1/(1+t^2)$ diventa $(Ct+D)/(1+t^2)$? perche' $Ct$? è perchè c'è $t^2$ al denominatore? chi mi dice che è così? e perchè pure $B$ non ha il suo $t$ ? ha un quadrato pure lui al denominatore!?!
Ragazzi grazie mille .. spero possiate aiutarmi
ho una domanda:
Sto svolgendo il seguente esercizio: $\int2/(tanx+1)^2 dx$.
Devo risolverlo con il metodo della sostituzione (è la consegna dell'esercizio).
(Anzi, facciamo che vi faccio un paio di domande
)Penso a cosa sostituire: $\tanx = t$ oppure $(\tanx+1)^2$. Provo prima con la seconda e dopo un po' mi fermo pensando che non sia stata una scelta molto furba! riprovo con la seconda e le cose mi sembrano piu' "familiari"...
Quando faccio l'integrazione per parti, m scelgo una $F$ ed una $g$ in modo che la $F$ derivata "migliori" e la $g$ integrata non crei troppi casini. C'è un modo simile di procedere anche per sostituzione? Come posso farmi un idea di cosa sia meglio sostituire?
Sostituendo $\tanx=t$ ottengo: $x=\arctant => dx=1/(1+x^2)dt$ e riscrivo l'integrale:
$\int2/(1+t)^2 * 1/(1+t^2)dt$... ora, non capisco come si spieghi il seguente passaggio: decomposizione in fratti semplici, ossia trovare delle costanti del tipo:
$A/(1+t)+B/(1+t)^2+(Ct+D)/(t^2+1)$, faccio il comun denominatore, raccolgo ed ottengo le soluzioni:
${(A=1),(B=1),(C=-1),(D=0):}$ il che coincide con le schede... pero' ...perchè devo fare proprio così?
perchè $(1+t)^2$ è stato scomposto in $A/(1+t)+B/(1+t)^2$ e non ad esempio $A/(1+t)+B/(1+t)$?
Perchè $1/(1+t^2)$ diventa $(Ct+D)/(1+t^2)$? perche' $Ct$? è perchè c'è $t^2$ al denominatore? chi mi dice che è così? e perchè pure $B$ non ha il suo $t$ ? ha un quadrato pure lui al denominatore!?!
Ragazzi grazie mille .. spero possiate aiutarmi
Risposte
"BoG":
perchè $(1+t)^2$ è stato scomposto in $A/(1+t)+B/(1+t)^2$ e non ad esempio $A/(1+t)+B/(1+t)$?
Questa è una regola generale: quando nella scomposizione compaiono fattori di grado $n>1$ (nel tuo caso $2$) devono essere considerati con tutte le potenze da $1$ a $n$ in questo modo:
$C_1/(...)^1+C_2/(...)^2+...+C_n/(...)^n$
si, capisco pero' mi interessava sapere se c'è una ragione a monte! c'è una dimostrazione? un teorema o qualcosa?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo