Domanda su integrale doppio
Salve , sto studiando la parte degli integrali doppi e tripli per approcciarmi ai teoremi di stokes e green.
Allora avevo una domanda non saprei se banale o altro, in pratica facendo il passaggio alle coordinate polari ad esempio, per semplificare i calcoli su un dominio(arco, semicirconferenze ecc) oltre al cambio delle variabili in $ rho $ e $ Theta $ perchè ho bisogno anche di calcolare lo jacobiano della trasformazione, cioè il determinante della matrice di trasformazione? Cioè c'è qualche interpretazione geometrica o grafica?
Allora avevo una domanda non saprei se banale o altro, in pratica facendo il passaggio alle coordinate polari ad esempio, per semplificare i calcoli su un dominio(arco, semicirconferenze ecc) oltre al cambio delle variabili in $ rho $ e $ Theta $ perchè ho bisogno anche di calcolare lo jacobiano della trasformazione, cioè il determinante della matrice di trasformazione? Cioè c'è qualche interpretazione geometrica o grafica?
Risposte
Ciao dome88,
Beh sì...
Tanto per fissare le idee prendiamo in considerazione il caso $n = 2 $, gli altri si possono trattare analogamente: negli integrali doppi può capitare che le variabili "originali" $(x,y)$ rendano il calcolo dell'integrale piuttosto laborioso e ci sia l’esigenza di effettuare un cambiamento di variabili in un nuovo sistema di coordinate $(u,v)$ che semplifichi le cose. Una trasformazione di coordinate è un particolare esempio di funzione $\mathbf{F}:\RR^n \to \RR^n $, dove lo spazio di partenza e quello di arrivo hanno la stessa dimensione, nel caso in esame bidimensionale o 2-D.
In $\RR^2 $ si ha:
$\mathbf{F}:\RR^2 \to \RR^2 $
$(x,y) \mapsto (f_1(x, y), f_2(x,y)) $
Se $A$ è un insieme aperto di $\RR^2 $ e si indica con $\Phi : A \sub \RR^2 \to \RR^2 $ una funzione che realizza il cambiamento di coordinate, ossia
$\Phi : A \to \RR^2 $
$(u,v) \mapsto (x(u,v),y(u,v)) \qquad u,v \in A $
e si suppone che $\Phi $ sia biunivoca tra $A $ e $\Phi(A) $ e che le sue componenti $x(u,v) $ e $y(u,v) $ siano continue con derivate parziali continue in $A$ ed inoltre si introduce la matrice jacobiana di $\Phi $ avente per righe i gradienti delle componenti $x(u,v), y(u,v) $ di $\Phi $, cioè
$J_{\Phi(u,v)} = [[\nabla x(u,v)],[\nabla y(u,v)]] = [[(\del x)/(\del u),(\del x)/(\del v)],[(\del y)/(del u),(\del y)/(\del v)]] $
e poi si indica con $det[J_{\Phi(u,v)}] = (\del(x,y))/(\del(u,v)) $ il suo determinante che si suppone non nullo $\AA (u,v) \in A$, allora se $D$ è misurabile e $f$ è integrabile in $D$ si può dimostrare che si ha:
$\int\int_D f(x,y) \text{d}x \text{d}y = \int\int_{\Phi^{-1}(D)} f(x(u,v), y(u,v))|(\del(x,y))/(\del(u,v))| \text{d}u \text{d}v$
Se ci pensi quest'ultima formula è analoga a quella dell’integrazione per sostituzione vista per le funzioni di una variabile:
$\int_a^b f(x)\text{d}x = \int_{t_a = \varphi^{-1}(a)}^{t_b = \varphi^{-1}(b)} f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t) \text{d}t $
"dome88":
Cioè c'è qualche interpretazione geometrica o grafica?
Beh sì...
Tanto per fissare le idee prendiamo in considerazione il caso $n = 2 $, gli altri si possono trattare analogamente: negli integrali doppi può capitare che le variabili "originali" $(x,y)$ rendano il calcolo dell'integrale piuttosto laborioso e ci sia l’esigenza di effettuare un cambiamento di variabili in un nuovo sistema di coordinate $(u,v)$ che semplifichi le cose. Una trasformazione di coordinate è un particolare esempio di funzione $\mathbf{F}:\RR^n \to \RR^n $, dove lo spazio di partenza e quello di arrivo hanno la stessa dimensione, nel caso in esame bidimensionale o 2-D.
In $\RR^2 $ si ha:
$\mathbf{F}:\RR^2 \to \RR^2 $
$(x,y) \mapsto (f_1(x, y), f_2(x,y)) $
Se $A$ è un insieme aperto di $\RR^2 $ e si indica con $\Phi : A \sub \RR^2 \to \RR^2 $ una funzione che realizza il cambiamento di coordinate, ossia
$\Phi : A \to \RR^2 $
$(u,v) \mapsto (x(u,v),y(u,v)) \qquad u,v \in A $
e si suppone che $\Phi $ sia biunivoca tra $A $ e $\Phi(A) $ e che le sue componenti $x(u,v) $ e $y(u,v) $ siano continue con derivate parziali continue in $A$ ed inoltre si introduce la matrice jacobiana di $\Phi $ avente per righe i gradienti delle componenti $x(u,v), y(u,v) $ di $\Phi $, cioè
$J_{\Phi(u,v)} = [[\nabla x(u,v)],[\nabla y(u,v)]] = [[(\del x)/(\del u),(\del x)/(\del v)],[(\del y)/(del u),(\del y)/(\del v)]] $
e poi si indica con $det[J_{\Phi(u,v)}] = (\del(x,y))/(\del(u,v)) $ il suo determinante che si suppone non nullo $\AA (u,v) \in A$, allora se $D$ è misurabile e $f$ è integrabile in $D$ si può dimostrare che si ha:
$\int\int_D f(x,y) \text{d}x \text{d}y = \int\int_{\Phi^{-1}(D)} f(x(u,v), y(u,v))|(\del(x,y))/(\del(u,v))| \text{d}u \text{d}v$
Se ci pensi quest'ultima formula è analoga a quella dell’integrazione per sostituzione vista per le funzioni di una variabile:
$\int_a^b f(x)\text{d}x = \int_{t_a = \varphi^{-1}(a)}^{t_b = \varphi^{-1}(b)} f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t) \text{d}t $
Caspita hai centrato in pieno la mia domanda, quindi in due variabile anche per le funzioni vettoriali come sempre ci si riconduce spesso alle teorie ad una sola variabile.
Mi sa che mi tocca ri studiare la formula dell'integrale per sostituzione che hai citato perché non mi è molto chiara
Infatti ricordo che a analisi II facevo le sostituzioni negli integrali però non capivo perchè bisogna anche cambiare gli estremi di integrazione in funzione del parametro $ t $ Cioè non ho ben chiara la relazione tra gli estremi di integrazione e la funzione inversa
Mi sa che mi tocca ri studiare la formula dell'integrale per sostituzione che hai citato perché non mi è molto chiara
Infatti ricordo che a analisi II facevo le sostituzioni negli integrali però non capivo perchè bisogna anche cambiare gli estremi di integrazione in funzione del parametro $ t $ Cioè non ho ben chiara la relazione tra gli estremi di integrazione e la funzione inversa
Beh, se ci rifletti un po' che cosa fai quando risolvi un integrale $\int_a^b f(x) \text{d}x $ per sostituzione?
Scrivi $x$ in funzione di un'altra variabile $t$ (cioè $x = \varphi(t) \implies t = \varphi^-1(x) $), poi trovi $ \text{d}x = \varphi'(t) \text{d}t $
Dopodiché scrivi:
a) per $x = a $ si ha $\varphi^-1(a) $ e questo è ciò che ho chiamato $t_a$;
b) per $x = b $ si ha $\varphi^-1(b) $ e questo è ciò che ho chiamato $t_b$.
Dunque trovi proprio quanto ti ho scritto nel mio post precedente:
$ \int_a^b f(x)\text{d}x = \int_{t_a = \varphi^{-1}(a)}^{t_b = \varphi^{-1}(b)} f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t) \text{d}t $
Scrivi $x$ in funzione di un'altra variabile $t$ (cioè $x = \varphi(t) \implies t = \varphi^-1(x) $), poi trovi $ \text{d}x = \varphi'(t) \text{d}t $
Dopodiché scrivi:
a) per $x = a $ si ha $\varphi^-1(a) $ e questo è ciò che ho chiamato $t_a$;
b) per $x = b $ si ha $\varphi^-1(b) $ e questo è ciò che ho chiamato $t_b$.
Dunque trovi proprio quanto ti ho scritto nel mio post precedente:
$ \int_a^b f(x)\text{d}x = \int_{t_a = \varphi^{-1}(a)}^{t_b = \varphi^{-1}(b)} f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t) \text{d}t $
"pilloeffe":
Beh, se ci rifletti un po' che cosa fai quando risolvi un integrale $\int_a^b f(x) \text{d}x $ per sostituzione?
Scrivi $x$ in funzione di un'altra variabile $t$ (cioè $x = \varphi(t) \implies t = \varphi^-1(x) $), poi trovi $ \text{d}x = \varphi'(t) \text{d}t $
Dopodiché scrivi:
a) per $x = a $ si ha $\varphi^-1(a) $ e questo è ciò che ho chiamato $t_a$;
b) per $x = b $ si ha $\varphi^-1(b) $ e questo è ciò che ho chiamato $t_b$.
Dunque trovi proprio quanto ti ho scritto nel mio post precedente:
$ \int_a^b f(x)\text{d}x = \int_{t_a = \varphi^{-1}(a)}^{t_b = \varphi^{-1}(b)} f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t) \text{d}t $
Grazie mille sei un grande, delle volte mi sfuggono proprio queste cose banali
Adesso mi è molto più chiaro. Devo dire che ho fatto anche un lavoraccio per riprendere tutti gli argomenti visto che ho sostenuto analisi II quasi 5 anni fa e mi ricordavo poco e niente 
Quindi ritornando allo Jacobiano, è l'equivalente del concetto di derivata(differenziale) però in una funzione vettoriale, esatto?
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