Domanda su integrale

[tommyr89]

Ciao ragazzi,

ho bisogno di un chiarimento, una funzione che tende ad infinito in un punto, è integrabile secondo Riemann in un intervallo che include quel punto?

es. $int_1^(e^4) (x^2+4)/(logx-3) dx $

ora sicome devo stabilire se è integrabile in $[1,e^4]$ mi sono posto il problema che in $e^3$ la funzione tende a $+- infty$, quindi non so se l'integrale è effettivamente calcolabile.

[calolillo]

Scomponi l'integrale in due integrali $ int_(1)^(e^4) (x^2+4) / (logx - 3)dx = int_(1)^(e^3) (x^2+4) / (logx - 3)dx + int_(e^3)^(e^4) (x^2+4) / (logx - 3)dx $
A questo punto devi vedere se i due integrali convergono in $x=e^3$, utilizzando i criteri di integrabilità sai che una funzione definita su un intervallo $[a,b)$ (o $(a,b]$) è integrabile in senso generalizzato se esiste il $ lim_(delta -> 0) int_(a)^(b-delta) f(x)dx $ e un teorema dice che i due integrali convergono se sono infiniti di ordine $\alpha<1$ per $x->e^3$, quindi...

Nel caso in cui non riesci a confrontare in nessun modo la funzione con l'infinito campione, devi provare a trovare una funzione che maggiora $(x^2+4)/(logx-3)$ e di cui sai che l'integrale converge nell'intervallo considerato; viceversa per provare che diverge ne devi trovare una maggiorata dalla tua funzione che non sia integrabile.