Domanda su funzioni dispari

[leo91tn]

Un esercizio del libro mi chiede di dimostrare che se una funzione è dispari e continua in 0, allora f(0)=0. qualcuno sa come fare e può indirizzarmi? thanks

[Plepp]

Se $f:D\to RR$ è dispari, allora $\forall x\in D$ si ha, per definizione, $-x\in D$ e $f(-x)=-f(x)$. Se $0\in D$, allora $f(-0)=-f(0)$, da cui $2\cdot f(0)=0$, che è quel che ti interessava dimostrare. Mi chiedo a cosa serva la continuità a me pare inutile...

[Ayl1]

Mi chiedo a cosa serva la continuità a me pare inutile...

Beh forse perché una funzione può essere pari anche senza essere definita per x=0 (ad esempio pensa all'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti) e quindi in quel caso non ha senso calcolare f(0) perché non esiste. Invece se una funzione è continua in R e dunque è definita in x=0 vale il discorso che hai fatto tu: essendo simmetrica rispetto all'origine la funzione deve per forza 'passare' da O(0,0). Spero di non aver detto corbellerie!!

[gugo82]

In effetti, come nota Plepp, la continuità non è necessaria.
Basta che \(f\) sia definita in \(0\) affinché \(f(0)=0\).

Tuttavia, una funzione dispari non ha da essere necessariamente definita in \(0\): si pensi ad \(f(x):=1/x\).