Domanda su funzione analitica

[francicko]

Una funzione dicesi analitica in un intervallo $I=(a,b) $, se per ogni $x_0$ appartenente ad $I $, la funzione e' esprimibile in serie di potenze di centro $x_0$ e $R>0$, e' corretta questa definizione?
Mi chiedevo altresi, se una funzione e' sviluppabile secondo Mc Laurin in un intorno $I_0$, contenente l'origine, allora e' analitica
in $I_0$?
Ha senso questa domanda?

[donald_zeka]

se una funzione e' sviluppabile secondo Mc Laurin in un intorno I0I0, contenente l'origine, allora e' analitica

Non necessariamente, una funzione è analitica in $x_0$ in $I$ se la sua serie di Taylor (o McLaurin) centrata in $x_0$ converge a $f(x)$ per ogni $x$ in un intorno di $x_0$

[francicko]

x@Vulplasir.
Molte grazie, sempre preciso e chiaro nelle risposte!
Per alcune funzioni come $sinx $, $cosx $, $e^x $, sembrerebbe, se non sbaglio, che siano funzioni sviluppabili secondo Mc Laurin , ed anche analitiche, esistono esempi di lfunzioni che pur essendo sviluppabili secondo Mc Laurin non sono analitiche?
Se un funzione di classe $C^infty $ ha le derivate equo limitate allora e' analitica?

[donald_zeka]

Se un funzione di classe C∞C∞ ha le derivate equo limitate allora e' analitica?

Esatto

esistono esempi di lfunzioni che pur essendo sviluppabili secondo Mc Laurin non sono analitiche?

Certo, basta costruirle, adesso però non me ne vengono in mente. Prova a guardare sulla voce di wikpedia https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_liscia, ci dovrebbe essere qualcosa a riguardo

[francicko]

Un altra domanda, se per esempio voglio costruire una serie di potenze centrata in un punto $x_0$, di una funzione di classe $C ^infty $, che approssimi la funzione lungo tutto il suo dominio, questa non può essere altro che la serie di taylor, in quanto i coefficienti devono essere legati alle derivate dalla relazione $f^n (x_0)(x-x_0)/(n!) $, ha senso questa affermazione, od e' errata?
Grazie in anticipo per la risposta!