Domanda su eq. diff
ciao a tutti, ho questa eq. diff del 1 ordine a coeff costanti:
$y' = y^2 * 1$
prendo:
$f(x) = 1
h(y) = y^2$
$ int (y'(x))/(y^2(x))dx = int dx => int dy/y^2 = int dx => -1/y = x + c $
e trovo:
y=0 è soluzione e l'integrale generale in forma esplicita è: $y= - 1/(x+c) $ con x diverso da c
volevo solo sapere alcune cose:
non ho capito 1.perche y=0 è soluzione, 2.se l'integrale generale la contempla o meno.
$y' = y^2 * 1$
prendo:
$f(x) = 1
h(y) = y^2$
$ int (y'(x))/(y^2(x))dx = int dx => int dy/y^2 = int dx => -1/y = x + c $
e trovo:
y=0 è soluzione e l'integrale generale in forma esplicita è: $y= - 1/(x+c) $ con x diverso da c
volevo solo sapere alcune cose:
non ho capito 1.perche y=0 è soluzione, 2.se l'integrale generale la contempla o meno.
Risposte
$y=0$ è soluzione perché se nell'equazione, al posto di $y$ ci metti $0$, ottieni $0=0$.
A parte il fatto che risolvendo l'equazione trovo $y = -\frac{1}{c}$* (ma posso essere stato io a sbagliare...), in ogni caso, se trovi l'integrale generale dividendo per $y$, non puoi trovare $y=0$ come soluzione (perché se $y=0$ non si può dividere per $y$...). Perciò, prima di dividere, si controlla se $y=0$ è soluzione, e in questo caso lo è.
*EDIT: si ho sbagliato io, è come dici tu...
A parte il fatto che risolvendo l'equazione trovo $y = -\frac{1}{c}$* (ma posso essere stato io a sbagliare...), in ogni caso, se trovi l'integrale generale dividendo per $y$, non puoi trovare $y=0$ come soluzione (perché se $y=0$ non si può dividere per $y$...). Perciò, prima di dividere, si controlla se $y=0$ è soluzione, e in questo caso lo è.
*EDIT: si ho sbagliato io, è come dici tu...
La soluzione $y=0$ è di equilibrio, poichè è radice della $h(y)$, non è difficile verificare che soddisfa l'equaz. diff.
L'integrale generale non la contempla, per questo è necessario esplicitarla.
Nell'integrale generale non ti basta dire $xnec$, sarebbe meglio esplicitare l'intervallo massimale in cui è definita la soluzione.
L'integrale generale non la contempla, per questo è necessario esplicitarla.
Nell'integrale generale non ti basta dire $xnec$, sarebbe meglio esplicitare l'intervallo massimale in cui è definita la soluzione.
ok ma in fondo a me basta questo: "L'integrale generale non la contempla, per questo è necessario esplicitarla. "
facendo due conti in tasca...se la contempla ben venga se no pace perche tanto a me serve l'integrale generale per risolvere poi Cauchy
facendo due conti in tasca...se la contempla ben venga se no pace perche tanto a me serve l'integrale generale per risolvere poi Cauchy
Occhio: se le ipotesi del teorema di esistenza e unicità sono soddisfatte, e la soluzione costante soddisfa sia l'equazione differenziale che la condizione iniziale, allora hai finito.
eddai cosi non ho capito 
non va bene dire che ho finito in ogni caso?
pero aspetta...non sono d'accordo...se cmq non è soddisfatta non fa parte dell'integrale generale da quanto ho capito. poi ditemi voi
non va bene dire che ho finito in ogni caso? pero aspetta...non sono d'accordo...se cmq non è soddisfatta non fa parte dell'integrale generale da quanto ho capito. poi ditemi voi
se devi risolvere il problema $y(0)=1$ come ti comporti? e con $y(0)=-1$ ?
ok facciamo un altro esempio:
$y=-1$ trovo che è soluzione
poi l'integrale generale che trovo viene: $y(x)=(lg (|x|)^(1/2) + c)^2 -1$
che faccio mi tengo l'integrale generale cosi com'è?
$y=-1$ trovo che è soluzione
poi l'integrale generale che trovo viene: $y(x)=(lg (|x|)^(1/2) + c)^2 -1$
che faccio mi tengo l'integrale generale cosi com'è?
un altra cosa: quella che ho proposto è una eq. diff ordinaria del 1 ordine in forma normale?
grazie
grazie
L’equazione differenziale…
$y’=y^2$ (1)
… appartiene al tipo…
$y’=f(y)$ (2)
… che già altre volte è stato affrontato e di cui sono emerse anche certe ‘potenziali criticità’. In particolare, come è del tutto evidente dal fatto che la $f(y)$ è funzione della sola $y$, se $gamma (x)$ è soluzione della (2), allora anche $gamma (x-t)$ con $t$ arbitraria è anch’essa soluzione della (2). Ciò significa in pratica che spesso ‘soluzioni’ della (2) possono essere costruite mettendo insieme in vario modo differenti ‘pezzi’ in modi differenti…
Prendiamo ad esempio la (1) con la ‘condizione di Cauchy’ $y(1)=-1$. Vi sono almeno due funzioni differenti che soddisfano il problema così posto, vale a dire…
$y(x)= -1/x$, $-oo
$y(x)= -1/x$, $0
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$y’=y^2$ (1)
… appartiene al tipo…
$y’=f(y)$ (2)
… che già altre volte è stato affrontato e di cui sono emerse anche certe ‘potenziali criticità’. In particolare, come è del tutto evidente dal fatto che la $f(y)$ è funzione della sola $y$, se $gamma (x)$ è soluzione della (2), allora anche $gamma (x-t)$ con $t$ arbitraria è anch’essa soluzione della (2). Ciò significa in pratica che spesso ‘soluzioni’ della (2) possono essere costruite mettendo insieme in vario modo differenti ‘pezzi’ in modi differenti…
Prendiamo ad esempio la (1) con la ‘condizione di Cauchy’ $y(1)=-1$. Vi sono almeno due funzioni differenti che soddisfano il problema così posto, vale a dire…
$y(x)= -1/x$, $-oo
$y(x)= -1/x$, $0
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"luca.barletta":
Nell'integrale generale non ti basta dire $xnec$, sarebbe meglio esplicitare l'intervallo massimale in cui è definita la soluzione.
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