Domanda su differenziale e o-piccolo
Vorrei porvi un'ultima domanda prima di mettermi a fare degli esercizi. Domanda che sorge dallo studio teorico.
Ho affrontato il discorso differenziale e il fatto che con la nozione di o-piccolo si possa scrivere:
$f(x'+\Delta x)-f(x')=c\Delta x +o(\Delta x)$ con $o(\Deltax)$ l'o-piccolo dell'incremento sulle x, cioè graficamente e tramite formule suggerisce che il differenziale approssima la funzione a meno di un o-piccolo (cioè un infinitesimo di ordine superiore).
Ora la domanda:ma se io prendessi una funzone che è o-piccolo di Dx e la sottraessi $f(x'+\Delta x)-f(x')=b\Delta x -o(\Delta x)$ anche questa approssima l'incremento della funzione f(x), è corretto scrivere così? (ovviamente con b non più la derivata prima come era c)
Intuitivamente disegnandomi una parabola per semplicità e una retta che passa sopra ad f(x'+Dx) se la distanza tra quella retta è un o-piccolo allora quella sottrazione mi parrebbe funzionare. Però....
Non saprei rispondermi se è giusto o meno
Buona serata
Ho affrontato il discorso differenziale e il fatto che con la nozione di o-piccolo si possa scrivere:
$f(x'+\Delta x)-f(x')=c\Delta x +o(\Delta x)$ con $o(\Deltax)$ l'o-piccolo dell'incremento sulle x, cioè graficamente e tramite formule suggerisce che il differenziale approssima la funzione a meno di un o-piccolo (cioè un infinitesimo di ordine superiore).
Ora la domanda:ma se io prendessi una funzone che è o-piccolo di Dx e la sottraessi $f(x'+\Delta x)-f(x')=b\Delta x -o(\Delta x)$ anche questa approssima l'incremento della funzione f(x), è corretto scrivere così? (ovviamente con b non più la derivata prima come era c)
Intuitivamente disegnandomi una parabola per semplicità e una retta che passa sopra ad f(x'+Dx) se la distanza tra quella retta è un o-piccolo allora quella sottrazione mi parrebbe funzionare. Però....
Non saprei rispondermi se è giusto o meno
Buona serata
Risposte
Se $f(x'+\Delta x)-f(x')= b\Delta x- o(\Delta x)$ per $\Delta x\to 0$, allora $b$ è necessariamente la derivata prima di $f$, poiché dividendo tutto per $\Delta x$ si ottiene
\[
\frac{f(x'+\Delta x)-f(x')}{\Delta x}=b-\frac{o(\Delta x)}{\Delta x},
\]
e se ora facciamo tendere $\Delta x$ a zero, per la definizione di derivata e di $o$-piccolo risulta
\[
Df(x')=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x'+\Delta x)-f(x')}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} b-\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}=b.
\]
\[
\frac{f(x'+\Delta x)-f(x')}{\Delta x}=b-\frac{o(\Delta x)}{\Delta x},
\]
e se ora facciamo tendere $\Delta x$ a zero, per la definizione di derivata e di $o$-piccolo risulta
\[
Df(x')=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x'+\Delta x)-f(x')}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} b-\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}=b.
\]
Ti ringrazio moltissimo per la risposta.
C'è qualcosa del risultato che mi hai mostrato che a livello intuitivo mi sfugge, vediamo se riesco a spiegarmi
In sostanza interpreto così: il mio o-piccolo di Dx è quel segmento MR che è un infinitesimo di ordine superiore, nulla di strano più mi "avvicino" al punto di tangenza più MR essendo di ordine superiore si "rimpicciolisce velocemente" e RH si confonde con MH quindi il prodotto c*Dx si confonde ad MH.
Ora però mi dico, quell'o-piccolo se esiste nella somma di c*Dx+o(Dx)=(HR)+RM, dovrà esistere anche nella sua suddivisione RQ (che tra l'altro è l'opiccolo in verde che ha un ordine ancora superiore essendone più piccolo e lo chiamo o(Dx^2)).
Quindi PQH ha come cateto QH (somma QR+RH) così come PMH ha come cateto MH. Ora la dimostrazione mi sembra che mi dica: non esiste PQ, non esiste nemmeno QH perché a*Dx+o(Dx^2) ha come a*Dx necessariamente con a la derivata, dunque a(Dx)=c(Dx) e mi sembra un assurdo, come fanno ad essere la stessa cosa? Sono due triangoli distinti
Altra interpretazione della dimostrazione è che non esiste QH e il segmento PQ che giace sulla retta che non è la tangente, poiché la tangente è unica e ha come suo segmento già PR con il cateto c*Dx. Ma come fa non esistere quel QH, non riesco proprio a intuirlo dato che lo costruisco graficamente.
C'è qualcosa del risultato che mi hai mostrato che a livello intuitivo mi sfugge, vediamo se riesco a spiegarmi
In sostanza interpreto così: il mio o-piccolo di Dx è quel segmento MR che è un infinitesimo di ordine superiore, nulla di strano più mi "avvicino" al punto di tangenza più MR essendo di ordine superiore si "rimpicciolisce velocemente" e RH si confonde con MH quindi il prodotto c*Dx si confonde ad MH.
Ora però mi dico, quell'o-piccolo se esiste nella somma di c*Dx+o(Dx)=(HR)+RM, dovrà esistere anche nella sua suddivisione RQ (che tra l'altro è l'opiccolo in verde che ha un ordine ancora superiore essendone più piccolo e lo chiamo o(Dx^2)).
Quindi PQH ha come cateto QH (somma QR+RH) così come PMH ha come cateto MH. Ora la dimostrazione mi sembra che mi dica: non esiste PQ, non esiste nemmeno QH perché a*Dx+o(Dx^2) ha come a*Dx necessariamente con a la derivata, dunque a(Dx)=c(Dx) e mi sembra un assurdo, come fanno ad essere la stessa cosa? Sono due triangoli distinti
Altra interpretazione della dimostrazione è che non esiste QH e il segmento PQ che giace sulla retta che non è la tangente, poiché la tangente è unica e ha come suo segmento già PR con il cateto c*Dx. Ma come fa non esistere quel QH, non riesco proprio a intuirlo dato che lo costruisco graficamente.
Il problema è che tu vuoi scomporre l'$o$-piccolo $MR$ in $MQ+QR$, dicendo che questi due ultimi sono a loro volta $o$-piccoli di $\Delta x$. Questo però non è vero, perché $QR=a\Delta x - c\Delta x=(a-c)\Delta x$, quindi se $a\ne c$, $QR$ non può essere $o(\Delta x)$.
Grazie per aiutarmi a capire, perché ne ho davvero voglia di rendere mio questo concetto
Scusa se userò poca formalità, ma cerco di usare gli strumenti che ho (lezioni di analisi e studio per la prima volta di concetti così profondi rispetto a quanto fatto finora) e sono qui proprio perché voglio formalizzare intuizione con il rigore che avete, quindi perdonami
In sostanza a me sembra di poter "vedere" quel QH come prodotto di una certa a*Dx infinitesimo (dx), so che è sbaglaito ripeto, ma è solo per capire l'intuizione, inoltre dicevo che QR è o-piccolo di DX perché essendo più piccolo di MR che è o-piccolo di Dx concludevo esserlo per forza di cose.
A questo punto se come mi mostri se a è diverso da c e (a-c)Dx non è o-piccolo di DX, quel QR cosa caspita è? (primo dubbio) Perché geometricamente c'è, esiste QR!
Inoltre il teorema iniziale che mi hai esposto dimostra che se esiste quell' a*Dx necessariamente a è uguale a c. Ma se a è uguale a c a*Dx=c*Dx e quindi QH=RH cosa che graficamente non torna. (secondo dubbio) Qundi..
Non riesco proprio a capirlo.
Grazie ancora!
Scusa se userò poca formalità, ma cerco di usare gli strumenti che ho (lezioni di analisi e studio per la prima volta di concetti così profondi rispetto a quanto fatto finora) e sono qui proprio perché voglio formalizzare intuizione con il rigore che avete, quindi perdonami
In sostanza a me sembra di poter "vedere" quel QH come prodotto di una certa a*Dx infinitesimo (dx), so che è sbaglaito ripeto, ma è solo per capire l'intuizione, inoltre dicevo che QR è o-piccolo di DX perché essendo più piccolo di MR che è o-piccolo di Dx concludevo esserlo per forza di cose.
A questo punto se come mi mostri se a è diverso da c e (a-c)Dx non è o-piccolo di DX, quel QR cosa caspita è? (primo dubbio) Perché geometricamente c'è, esiste QR!
Inoltre il teorema iniziale che mi hai esposto dimostra che se esiste quell' a*Dx necessariamente a è uguale a c. Ma se a è uguale a c a*Dx=c*Dx e quindi QH=RH cosa che graficamente non torna. (secondo dubbio) Qundi..
Non riesco proprio a capirlo.
Grazie ancora!
Credo che tutti i tuoi dubbi derivino dal fatto che il tuo disegno trae in inganno...
Quello che hai disegnato non esiste . Forse da quest'altra figura ti sarà più chiaro perché $QR$ non è $o$-piccolo di $\Delta x$, poiché non è sempre vero che $QR$ è più piccolo di $MR$ (basta rimpicciolire $\Delta x$ per vederlo).
Quello che hai disegnato non esiste
. Forse da quest'altra figura ti sarà più chiaro perché $QR$ non è $o$-piccolo di $\Delta x$, poiché non è sempre vero che $QR$ è più piccolo di $MR$ (basta rimpicciolire $\Delta x$ per vederlo).
Caspita grazie
In sostanza non esiste mai perché in ogni funzione (questa è una parabola ma ci sarà sempre un caso analogo) l'o-piccolo di Dx esisterà solo per una tangente al grafico, infatti qualunque altra retta certe volte ci finirà "sopra" per un certo Dx.
Perché come dimostrazione che mi hai mostrato era impeccabile. E' nell'intuizione che spessissimo pecco.
Penso ora di aver capito giusto, nonostante la mia ottusaggine
Buona serata!
In sostanza non esiste mai perché in ogni funzione (questa è una parabola ma ci sarà sempre un caso analogo) l'o-piccolo di Dx esisterà solo per una tangente al grafico, infatti qualunque altra retta certe volte ci finirà "sopra" per un certo Dx.
Perché come dimostrazione che mi hai mostrato era impeccabile. E' nell'intuizione che spessissimo pecco.
Penso ora di aver capito giusto, nonostante la mia ottusaggine
Buona serata!
Molto bene!
A volte capita che i disegni se usati nella maniera sbagliata (come nel tuo caso) creino problemi... per questo le dimostrazioni non si fanno con i disegni
Però ci sono casi in cui aiutano moltissimo a guidare l'intuito quindi... bisogna solo imparare a farne l'uso corretto!!
Comunque l'importante è che ora ti sia tutto chiaro.
P.S. Io non la chiamerei ottusaggine, ma curiosità e voglia di capire... vedi di non fartela passare 
A volte capita che i disegni se usati nella maniera sbagliata (come nel tuo caso) creino problemi... per questo le dimostrazioni non si fanno con i disegni
Però ci sono casi in cui aiutano moltissimo a guidare l'intuito quindi... bisogna solo imparare a farne l'uso corretto!!
Comunque l'importante è che ora ti sia tutto chiaro.
P.S. Io non la chiamerei ottusaggine, ma curiosità e voglia di capire... vedi di non fartela passare
Scusate se mi intrometto, @billyballo: che cosa hai usato per disegnare?
Grazie in anticipo
Grazie in anticipo
Geogebra... da sempre il migliore (si può fare ben altro che questo con quel software 
)
)
Ottimo consiglio, grazie.
Di solito uso mathematica per rendermi le idee grafiche, lo proverò
Di solito uso mathematica per rendermi le idee grafiche, lo proverò
Bhè sicuramente mathematica è molto più potente... ma la facilità e la praticità di geogebra sono ineguagliabili!!
Eh si, più che altro non è propriamente comodo infatti.
Ho visto che c'è anche l'app, must have
Mi hai aperto un mondo di grafici..
Ho visto che c'è anche l'app, must have
Mi hai aperto un mondo di grafici..
Ma chi vi ha insegnato a fare analisi con i grafici? Ma che roba è
@vulpla
Uhm ma non è per analisi, è per divertirsi con i grafici. Credo sia solo uno degli aspetti ludici
Uhm ma non è per analisi, è per divertirsi con i grafici. Credo sia solo uno degli aspetti ludici
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo