Domanda su derivate parziali
Ciao a tutti ho iniziato quest’anno il corso analisi matematica 2 e da poco abbiamo fatto le derivate parziali e le funzioni differenziabili. Ho una domanda su questo esercizio: data
$f(x,y)=\root(3){x^2(y-1)}+1$ devo provare che non è differenziabile in (0,1). La mia domanda non è tanto sulla risoluzione dell’esercizio ma più su un passaggio che non ho capito. Il mio prof ha prima calcolato le derivate parziali che vengono $f_x=1/3*1/root(3){(x^2(y-1))^2}*2x(y-1)$
$f_y=1/3*1/root(3){(x^2(y-1))^2}*x^2$ e queste non sono definite per x=0 e per y=1, quindi io qui mi sarei fermato e avrei detto che la funzione non è derivabile in (0,1) e quindi neanche differenziabile . Però poi ha verificato con la definizione che invece le due derivate parziali sono definite in (0,1) e vengono entrambe 0 e ha proseguito nella risoluzione dell’esercizio. Magari è una domanda banale, ma quindi è possibile che anche se le derivate parziali non hanno espressioni definite in certi valori di x e y io posso comunque controllare se queste esistono in tali valori?
$f(x,y)=\root(3){x^2(y-1)}+1$ devo provare che non è differenziabile in (0,1). La mia domanda non è tanto sulla risoluzione dell’esercizio ma più su un passaggio che non ho capito. Il mio prof ha prima calcolato le derivate parziali che vengono $f_x=1/3*1/root(3){(x^2(y-1))^2}*2x(y-1)$
$f_y=1/3*1/root(3){(x^2(y-1))^2}*x^2$ e queste non sono definite per x=0 e per y=1, quindi io qui mi sarei fermato e avrei detto che la funzione non è derivabile in (0,1) e quindi neanche differenziabile . Però poi ha verificato con la definizione che invece le due derivate parziali sono definite in (0,1) e vengono entrambe 0 e ha proseguito nella risoluzione dell’esercizio. Magari è una domanda banale, ma quindi è possibile che anche se le derivate parziali non hanno espressioni definite in certi valori di x e y io posso comunque controllare se queste esistono in tali valori?
Risposte
Si, se l'espressione non è definita non necessariamente vuol dire che la derivata non esiste, questo anche per le funzioni in una variabile (che poi le derivare parziali non sono così), ad esempio il prolungamento per continuità di $x^2sin(1/x)$.
Ok grazie mille, che intendi con prolungamento per continuità?
Che in $0$ vale $0$, mi stava fatica scriverlo. Cioè quella funzione è definita per $x!=0$, ma c'è modo di definirla anche in $0$ mantenendola continua, questo si intende con prolungamento per continuità.
"ciaomammalolmao":
che intendi con prolungamento per continuità?
Hai un testo di Analisi I sotto mano?
Credo sia una terminologia sulla quale c'è un accordo pressoché unanime, quindi ti basta sfogliare il libro. Se sul libro non c'è, qualche domanda sul caso di prenderne un altro me la porrei.
Va bene grazie a tutti ho capito
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