Domanda su curva parametrizzata
Salve, ho da fare una domanda sulle curve parametriche.
Supponiamo di avere una funzione, una curva espressa in forma parametrica che va da $RR$ a $RR^2$, il cui sostegno, cioè la sua immagine, è una circonferenza. Supponiamo inoltre che la parametrizzazione è tale da far si che il punto percorra tale sostegno due volte. Da quello che ho capito a lezione, la "lunghezza della curva" dovrebbe essere data dalla lunghezza del sostegno, cioè della circonferenza, moltiplicata il numero di volte che il punto la percorre: in questo caso, la lunghezza della curva è $4*pi*r$.
Inoltre, siccome con il termine curva si intende la funzione vera e propria, il cui grafico è l'insieme dei punti che hanno come coordinate la terna formata dal parametro e le due coordinate del sostegno, allora in questo caso tale grafico dovrebbe essere una specie di "molla" giusto?
Ora, con il termine "lunghezza di una curva", mi viene da pensare che si intenda la lunghezza del grafico (non del sostegno) della funzione (la curva), quindi la lunghezza della molla. Dunque la domanda è: la lunghezza del grafico della curva coincide con $4*pi*r$?
Con il termine grafico della curva intendo dire il grafico della funzione espressa dalla parametrizzazione, e non il suo sostegno.
Grazie mille.
Supponiamo di avere una funzione, una curva espressa in forma parametrica che va da $RR$ a $RR^2$, il cui sostegno, cioè la sua immagine, è una circonferenza. Supponiamo inoltre che la parametrizzazione è tale da far si che il punto percorra tale sostegno due volte. Da quello che ho capito a lezione, la "lunghezza della curva" dovrebbe essere data dalla lunghezza del sostegno, cioè della circonferenza, moltiplicata il numero di volte che il punto la percorre: in questo caso, la lunghezza della curva è $4*pi*r$.
Inoltre, siccome con il termine curva si intende la funzione vera e propria, il cui grafico è l'insieme dei punti che hanno come coordinate la terna formata dal parametro e le due coordinate del sostegno, allora in questo caso tale grafico dovrebbe essere una specie di "molla" giusto?
Ora, con il termine "lunghezza di una curva", mi viene da pensare che si intenda la lunghezza del grafico (non del sostegno) della funzione (la curva), quindi la lunghezza della molla. Dunque la domanda è: la lunghezza del grafico della curva coincide con $4*pi*r$?
Con il termine grafico della curva intendo dire il grafico della funzione espressa dalla parametrizzazione, e non il suo sostegno.
Grazie mille.
Risposte
Lascia perdere il grafico, non ti aiuta nell'intuizione. Hai ragione nel dire che il grafico è un'elica nello spazio tridimensionale ma non nel dire che la sua lunghezza coincide con la lunghezza della curva. Le curve vanno pensate secondo la loro interpretazione cinematica: sono traiettorie di punti materiali (di massa \(1\)). La lunghezza di una curva è lo spazio totale percorso dal punto, ovvero l'integrale della velocità scalare, e non è detto che sia direttamente collegabile al sostegno.
Per esempio un punto potrebbe fare un giro completo lungo la tua circonferenza e poi mettersi a fare oscillazioni smorzate attorno ad un punto, restando sempre sulla circonferenza che è quindi il sostegno della sua traiettoria. Quanto spazio totale percorre? Chiaro che la lunghezza del sostegno c'entra poco, ci informa solo sul primo giro, dopodiché per rispondere alla domanda dovremo necessariamente avere altre informazioni di carattere prettamente cinematico e non geometrico.
Per esempio un punto potrebbe fare un giro completo lungo la tua circonferenza e poi mettersi a fare oscillazioni smorzate attorno ad un punto, restando sempre sulla circonferenza che è quindi il sostegno della sua traiettoria. Quanto spazio totale percorre? Chiaro che la lunghezza del sostegno c'entra poco, ci informa solo sul primo giro, dopodiché per rispondere alla domanda dovremo necessariamente avere altre informazioni di carattere prettamente cinematico e non geometrico.
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