Domanda su convergenza integrali improprio...
$\int_2^oo \frac{\arctan (x + 7)}{x (\log (x+2))^b}$ con $b \in \mathbb{R}$
devo ricondurmi a $\int_t^oo 1 / (x^a (\log x)^b)$ che converge se $a=1$ quando $b>1$
Siccome $b \in \mathbb{R}$ distinguiamo:
$1.$ $b>0$
$f(x) \sim \frac{\pi/2}{x (\log x)^b }$ e quindi converge per $b>1$
$2.$ $b=0$
$f(x) \sim \frac{\pi/2}{x}$ che diverge...
$3.$ $b < 0$
$f(x) \sim \frac{\pi/2}{x (\log x)^{-a} }$ che converge quando $-a > 1$ cioè $b<1$
a me verrebbe da dire che l'integrale converge per $\forall b \in \mathbb{R} - {0}$ ma la soluzione è $b>1$
Per favore chi mi spiega dove sbaglio?
PS oppure se dico $b<0$ implico il fatto che $b < 1$ e quindi diverge per $b<0$??
devo ricondurmi a $\int_t^oo 1 / (x^a (\log x)^b)$ che converge se $a=1$ quando $b>1$
Siccome $b \in \mathbb{R}$ distinguiamo:
$1.$ $b>0$
$f(x) \sim \frac{\pi/2}{x (\log x)^b }$ e quindi converge per $b>1$
$2.$ $b=0$
$f(x) \sim \frac{\pi/2}{x}$ che diverge...
$3.$ $b < 0$
$f(x) \sim \frac{\pi/2}{x (\log x)^{-a} }$ che converge quando $-a > 1$ cioè $b<1$
a me verrebbe da dire che l'integrale converge per $\forall b \in \mathbb{R} - {0}$ ma la soluzione è $b>1$
Per favore chi mi spiega dove sbaglio?
PS oppure se dico $b<0$ implico il fatto che $b < 1$ e quindi diverge per $b<0$??
Risposte
Non capisco la necessità di tutti questi casi.
Hai \( f(x) \sim \frac{\pi/2}{x (\log x)^b}\) per \(x\to +\infty\), e sai già che l'integrale su \([2, +\infty)\) di quest'ultima funzione converge se e solo se \( b>1\). Fine.
Hai \( f(x) \sim \frac{\pi/2}{x (\log x)^b}\) per \(x\to +\infty\), e sai già che l'integrale su \([2, +\infty)\) di quest'ultima funzione converge se e solo se \( b>1\). Fine.
"Rigel":
Non capisco la necessità di tutti questi casi.
Hai \( f(x) \sim \frac{\pi/2}{x (\log x)^b}\) per \(x\to +\infty\), e sai già che l'integrale su \([2, +\infty)\) di quest'ultima funzione converge se e solo se \( b>1\). Fine.
Semplicemente perchè pensavo che quando $b$ è reale, può anche essere negativo...forse con $b < 0$ quella funzione tenderebbe a $0$ per $x->oo$
Se sai che l'integrale converge se e solo se \(b>1\), hai in particolare che se \(b\leq 1\) (caso che include anche tutti i numeri negativi) l'integrale non converge.
"Rigel":
Se sai che l'integrale converge se e solo se \(b>1\), hai in particolare che se \(b\leq 1\) (caso che include anche tutti i numeri negativi) l'integrale non converge.
capito Rigel...io sono dell'opinione che è meglio fare domande una domanda in più, che una in meno...grazie!
"davidedesantis":
[quote="Rigel"]Se sai che l'integrale converge se e solo se \(b>1\), hai in particolare che se \(b\leq 1\) (caso che include anche tutti i numeri negativi) l'integrale non converge.
capito Rigel...io sono dell'opinione che è meglio fare domande una domanda in più, che una in meno...grazie!
[/quote]riassumendo: vedi cha a 1 diverge, a 2 converge e ne trai la conclusione che se è >1 converge, senza porti ulteriori problemi giusto?
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