Domanda stupida su esercizio con opiccolo
Svolgo un limite ed arrivo a $lim_(x->0) (x^2/2+o(x^3))/x=0$ non riesco bene a formalizzare il passaggio per cui mi sparisce l'opiccolo.
Ho pensato che potrei raccogliere x $lim_(x->0) x((x/2+o(x^3))/x)=lim_(x->0) x/2+(o(x^3))/x$ ed essendo opiccolo di x alla terza infinitesmo di ordine superiore di una x^3 allora a maggior ragione è di x e sparisce e arriverei infine alla voluta: $lim_(x->0) x/2=0$.
Ma tutto ciò, è corretto?
Ho pensato che potrei raccogliere x $lim_(x->0) x((x/2+o(x^3))/x)=lim_(x->0) x/2+(o(x^3))/x$ ed essendo opiccolo di x alla terza infinitesmo di ordine superiore di una x^3 allora a maggior ragione è di x e sparisce e arriverei infine alla voluta: $lim_(x->0) x/2=0$.
Ma tutto ciò, è corretto?
Risposte
Si va bene, ma nasconde un passaggio che forse ti farebbe bene sapere e ti farebbe capire perfettamente perché va bene. Ti sei ridotto a dover calcolare questo limite: $\lim_{x->0} (o(x^3))/x=\lim_{x->0}((o(x^3))/x^3)x^2$ che è un prodotto di cose che tendono a $0$ (il primo fattore per definizione di $o$), quindi il limite fa $0$.
Ah ok, quindi devo mostrare anche il passaggio ultimo? Non basta dire essendo opiccolo di x^3 lo sarà anche di x per mera questione di ordine di infinitesimi?
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E poi un'ultima domanda perché non sono per nulla rpatico di questi opiccoli..
Riprendiamo $lim_(x->0) (x^2/2+o(x^3))/x=0$
è legale una "sostituzione a mente" del genere, un po' come una algebra degli infinitesimi, quando ho gli opiccoli li mando a zero (senza fare tutti i passaggi) e quindi $lim_(x->0) (x^2/2)/x=0$ mi accorgo che posso farli sempre sparire e poi riportarmi a tutto senza opiccoli, ma mi chiedo se in certi casi potrebbe non funzionare
Grazie mille
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E poi un'ultima domanda perché non sono per nulla rpatico di questi opiccoli..
Riprendiamo $lim_(x->0) (x^2/2+o(x^3))/x=0$
è legale una "sostituzione a mente" del genere, un po' come una algebra degli infinitesimi, quando ho gli opiccoli li mando a zero (senza fare tutti i passaggi) e quindi $lim_(x->0) (x^2/2)/x=0$ mi accorgo che posso farli sempre sparire e poi riportarmi a tutto senza opiccoli, ma mi chiedo se in certi casi potrebbe non funzionare
Grazie mille
"urca":
Ah ok, quindi devo mostrare anche il passaggio ultimo?
In teoria sì, ma dopo un po' che ci hai preso familiarità con gli o piccoli puoi anche evitare di scriverlo.
Non basta dire essendo opiccolo di x^3 lo sarà anche di x per mera questione di ordine di infinitesimi?
Ma questa "questione di ordine di infinitesimi" come la giustifichi? Se ci fai caso la dimostrazione è proprio quel passaggio che ti ho fatto prima.
E poi un'ultima domanda perché non sono per nulla rpatico di questi opiccoli..
È normale all'inizio, anche io non ci capivo nulla, poi ho cominciato ad usarli negli esercizi e ci ho preso la mano e non ne ho potuto più farne a meno!
Riprendiamo $lim_(x->0) (x^2/2+o(x^3))/x=0$
è legale una "sostituzione a mente" del genere, un po' come una algebra degli infinitesimi, quando ho gli opiccoli li mando a zero (senza fare tutti i passaggi) e quindi $lim_(x->0) (x^2/2)/x=0$ mi accorgo che posso farli sempre sparire e poi riportarmi a tutto senza opiccoli, ma mi chiedo se in certi casi potrebbe non funzionare
No questi passaggi evita di farli, ricordati che al limite bisogna passarci in un solo colpo, non si può fare a pezzi.
Grazie mille
Prego.
Ok ricapitolando devo farmi tutti quei passaggi ogni volta e non posso bellamente eliminare un opiccolo a cuor leggero in sostanza?
Guarda so che sono un rompi scatole ma volevo porti un'ultima domanda DAVVERO
nel caso avessi al passaggio conclusivo due casi del genere:
$lim_(x->0) 1/2+o(x)$
$lim_(x->0) 1/2*o(x)=lim_(x->0) o(x)$
come caspita mi comporto per eliminare quegli opiccoli non potendo raccogliere?
PS: Per la seconda azzarderei un: "dato che per definizione un o-piccolo è una classe di funzioni infinitesime allora tende a 0. Ma per la prima no ideas
Comunque grazie mille per tutto, mi sei servito molto
Guarda so che sono un rompi scatole ma volevo porti un'ultima domanda DAVVERO
nel caso avessi al passaggio conclusivo due casi del genere:
$lim_(x->0) 1/2+o(x)$
$lim_(x->0) 1/2*o(x)=lim_(x->0) o(x)$
come caspita mi comporto per eliminare quegli opiccoli non potendo raccogliere?
PS: Per la seconda azzarderei un: "dato che per definizione un o-piccolo è una classe di funzioni infinitesime allora tende a 0. Ma per la prima no ideas
Comunque grazie mille per tutto, mi sei servito molto
"urca":
Ok ricapitolando devo farmi tutti quei passaggi ogni volta e non posso bellamente eliminare un opiccolo a cuor leggero in sostanza?
Guarda so che sono un rompi scatole ma volevo porti un'ultima domanda DAVVERO
nel caso avessi al passaggio conclusivo due casi del genere:
$lim_(x->0) 1/2+o(x)$
$lim_(x->0) 1/2*o(x)=lim_(x->0) o(x)$
come caspita mi comporto per eliminare quegli opiccoli non potendo raccogliere?
PS: Per la seconda azzarderei un: "dato che per definizione un o-piccolo è una classe di funzioni infinitesime allora tende a 0. Ma per la prima no ideas
Comunque grazie mille per tutto, mi sei servito molto
L’azzardo pagherebbe in entrambi i casi... Pensaci.
Vi ringrazio, farei così $lim_(x->0) 1/2+o(x)$ algebra dei limiti $lim_(x->0) 1/2+lim_(x->0) o(x)=1/2+0$
Se scrivessi così andrebbe bene in un compito?
Se scrivessi così andrebbe bene in un compito?
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