Domanda stupida per necessità di R nell'analisi
Come mai Q é inadeguato per studiare per esempio convergenza, continuità differenziabilita' e integrazione?
Risposte
Grazie Sergio per la risposta ma mi rimangono dei dubbi, per esempio una successione di chaucy non è detto che possa convergere in Q (per esempio se tende a radice di 2) però non si potrebbe studiare comunque la convergenza in Q in generale? Oppure per la continuità se ad esempio considero e^x con x in Q dato che il dominio è Q non sarebbe continua la funzione? (ed allora perché non studiare la continuità su dominio Q?)
Probabilmente la risposta è sempre la stessa che mi hai dato, però credo di non riescire a capirla fin in fondo pur essendo banale
Probabilmente la risposta è sempre la stessa che mi hai dato, però credo di non riescire a capirla fin in fondo pur essendo banale
Prendo una funzione f: Q - - > X considero un sottoinsieme A di Q per cui esiste limite x0 di una successione di elementi di A allora vedo come si comporta il f(x) al tendere di x a x0, se esiste il limite di f(x) e coincide con f(x) allora f è continua in x0.
Me la sono inventata al momento, senza nessun rigore, giusto qualche idea di come potrebbe essere, sicuramente devo aver scritto qualcosa di sbagliatissimo.
Me la sono inventata al momento, senza nessun rigore, giusto qualche idea di come potrebbe essere, sicuramente devo aver scritto qualcosa di sbagliatissimo.
La topologia, che verosimilmente studierai più avanti, generalizza i concetti di convergenza e continuità a spazi molto più generali. Per quanto riguarda la differenziabilità è più complesso. Per l'integrazione esiste la teoria della misura ovviamente. Ma la completezza dello spazio facilità molto il discorso. Insomma molti risultati che valgono nei reali non sono validi per i numeri razionali.
ok
Il problema è che in $QQ$ non sono soddisfatte proprietà desiderabili per una teoria del limite "decente".
Ad esempio, esistono successioni monotone limitate che non sono convergenti e dunque troppi problemi elementari rimangono senza soluzione.
Quindi il problema non è che il Calcolo non si possa fare in $QQ$, ma che è totalmente "inutile".
Ad esempio, esistono successioni monotone limitate che non sono convergenti e dunque troppi problemi elementari rimangono senza soluzione.
Quindi il problema non è che il Calcolo non si possa fare in $QQ$, ma che è totalmente "inutile".
ok, grazie a tutti per le risposte.
Tra l'altro ci sono molte funzioni importanti che non assumono valori razionali nei punti di \(\mathbb{Q}\). Basta pensare alle funzioni seno e coseno.
Definire "numerosi" 
No ragazzi, la mia domanda non è partita sull'idea che tanto gli irrazionali sono poche eccezioni, é partita dal fatto che ho letto su un libro la seguente frase:"una soddisfacente discussione dei concetti dell'analisi (come convergenza, continuità, differenziabilita', integrazione) si basa su un'accurata definizione di numero [...] l'insieme dei razionali é inadeguato" e poi fa l'esempio che non esiste un razionale il cui quadrato sia 2... Mi chiedevo allora ma non è possibile estendere la cosa ai razionali? Quali sono i motivi per cui non funziona la cosa? Credevo che generalizzare ai razionali si poteva trovare un "analisi" più ricca ed invece poi gugo ha detto che al contrario si perderebbero troppe cose elementari e non servirebbe a molto
Il problema è che usi “generalizzare” in modo errato.
In che senso?
Usare un sottoinsieme invece di un insieme completo non è generalizzare. Generalizzare è qualcosa del tipo: "posso definire una teoria di questo tipo su uno spazio con le seguenti proprietà?"
"Sergio":
[quote="Settevoltesette"]In che senso?
In casi simili gli americani consultano il Webster. Qui leggo: "generalize: to derive or induce (a general conception or principle) from particulars".
Insomma: dal particolare al generale.
Rispetto agli interi, i naturali sono un "particolare". Rispetto ai razionali, gli interi sono un "particolare". Rispetto ai reali, i razionali sono un "particolare".
Puoi generalizzare dai naturali agli interi, dagli interi ai razionali, dai razionali ai reali, ma non viceversa.[/quote]
Già.
Anche a me capita di usare il dizionario di tanto in tanto.
"Sergio":
Per il resto, se sei interessato alle possibilità di aspetti della matematica basati sui razionali, potresti dare un'occhiata a http://www.mi.imati.cnr.it/~alberto/.
Tanto per dare un'idea, qui si definisce un "piano razionale" come $\{(r,s)|r,s\in QQ\}$, si definiscono circonferenze del tipo $a^2+b^2=c^2$ dove $a,b,c$ siano una terna pitagorica, si definiscono perfino funzioni trigonometriche sui razionali.
Mah… Dove l'hai trovata 'sta roba?!?
Voglio dire la mia.
Anche a me è capitato spesso di farmi questa domanda, ricevendo (sia da me stesso che da altri) questa risposta: perché $RR$ è completo.
Però, nonostante ero convinto che dovesse essere questa la "risposta giusta" alla domanda, per lungo tempo non ne capivo il perché.
Poi mi sono accorto che in matematica ci sono certi problemi, chiamiamoli di esistenza in cui ci si chiede se dato un oggetto $a$, ne esiste un altro $b$ tale che $b$ sia in una certa relazione con $a$ (per ora rimango sul vago poi entro più nello specifico). In questi casi può non essere facile trovare $b$, un po' perché non si sa come cercare e può non essere facile viceversa dimostrare che non esiste.
Quindi sono molto preziosi tutti quei risultati che ti caratterizzano in modo intrinseco, cioè puramente in termini di $a$, se esiste o meno un tale $b$.
Per non restare nel vago faccio alcuni esempi. Un problema che conoscono tutti è quello, dato $a\inNN$, capire se esiste un $b\inNN$ tale che $a=3b$ (cioè se $a$ è un multiplo di $3$), e tutti sanno che esiste un modo molto facile per stabilirlo (il criterio di divisibilità per $3$). Più in generale tutti i criteri di divisibilità sono soluzioni intrinseche di problemi di esistenza, per questo sono belli.
Ma arriviamo al dunque: vogliamo parlare di analisi, ma cos'è l'analisi? Dovremmo anzitutto chiarire questo aspetto. Rimanendo ad un livello base così che più persone possibili possano capire, si può dire che in analisi (1) si studiano i limiti, la continuità, le derivate e gli integrali. È facile rendersi conto che tutte queste cose si possono ricondurre a limiti e sup di insiemi.
Quindi possiamo dire tranquillamente che non sarebbe male capire se una funzione (o una successione) è convergente, ovvero se $EEl\inRR$ tale che $l$ sia proprio il limite della funzione. L'ultimo modo in cui l'ho scritta rende chiaro che questo è un problema di esistenza del tipo discusso prima, ma meno banale degli esempi precedenti, questo fa sì che sarebbe molto più importante avere un criterio intrinseco per risolvere il problema. Il bello è che c'è un criterio di questo tipo, è esattamente il criterio di Cauchy, che vale in $RR$ proprio per la sua completezza (in effetti se parliamo nel contesto degli spazi metrici, la definizione di completezza è esattamente "se funziona il criterio di Cauchy"), quindi quando vogliamo sapere se una funzione ha limite non dobbiamo controllare $AAl\inRR$ se $l$ è il suo limite (sono un po' tantini), basta usare il criterio di Cauchy.
Discorso simile si può fare per i sup di insiemi, infatti capire se esiste (finito) il sup di un certo insieme è un problema di esistenza e di nuovo la completezza di $RR$ ci permette di determinare un criterio intrinseco per capire se un insieme ha sup, infatti sappiamo che basta controllare che l'insieme sia non vuoto e limitato superiormente (ok, non è del tutto intrinseco ma è molto più facile da controllare quest'altra condizione di esistenza).
Quindi riassumendo la completezza di $RR$ ci permette di avere dei modi per controllare molto comodamente delle cose che sono veramente cruciali in analisi, senza di essa si potrebbero anche definire le nozioni fondamentali (come ha detto vict85 giustamente, e anche in altri modi), ma non si otterrebbero delle teorie altrettanto soddisfacenti.
Spero che questa risposta ti dia la sensazione di aver colto il "vero" motivo per cui è importante la completezza di $RR$ come la da a me.
Anche a me è capitato spesso di farmi questa domanda, ricevendo (sia da me stesso che da altri) questa risposta: perché $RR$ è completo.
Però, nonostante ero convinto che dovesse essere questa la "risposta giusta" alla domanda, per lungo tempo non ne capivo il perché.
Poi mi sono accorto che in matematica ci sono certi problemi, chiamiamoli di esistenza in cui ci si chiede se dato un oggetto $a$, ne esiste un altro $b$ tale che $b$ sia in una certa relazione con $a$ (per ora rimango sul vago poi entro più nello specifico). In questi casi può non essere facile trovare $b$, un po' perché non si sa come cercare e può non essere facile viceversa dimostrare che non esiste.
Quindi sono molto preziosi tutti quei risultati che ti caratterizzano in modo intrinseco, cioè puramente in termini di $a$, se esiste o meno un tale $b$.
Per non restare nel vago faccio alcuni esempi. Un problema che conoscono tutti è quello, dato $a\inNN$, capire se esiste un $b\inNN$ tale che $a=3b$ (cioè se $a$ è un multiplo di $3$), e tutti sanno che esiste un modo molto facile per stabilirlo (il criterio di divisibilità per $3$). Più in generale tutti i criteri di divisibilità sono soluzioni intrinseche di problemi di esistenza, per questo sono belli.
Ma arriviamo al dunque: vogliamo parlare di analisi, ma cos'è l'analisi? Dovremmo anzitutto chiarire questo aspetto. Rimanendo ad un livello base così che più persone possibili possano capire, si può dire che in analisi (1) si studiano i limiti, la continuità, le derivate e gli integrali. È facile rendersi conto che tutte queste cose si possono ricondurre a limiti e sup di insiemi.
Quindi possiamo dire tranquillamente che non sarebbe male capire se una funzione (o una successione) è convergente, ovvero se $EEl\inRR$ tale che $l$ sia proprio il limite della funzione. L'ultimo modo in cui l'ho scritta rende chiaro che questo è un problema di esistenza del tipo discusso prima, ma meno banale degli esempi precedenti, questo fa sì che sarebbe molto più importante avere un criterio intrinseco per risolvere il problema. Il bello è che c'è un criterio di questo tipo, è esattamente il criterio di Cauchy, che vale in $RR$ proprio per la sua completezza (in effetti se parliamo nel contesto degli spazi metrici, la definizione di completezza è esattamente "se funziona il criterio di Cauchy"), quindi quando vogliamo sapere se una funzione ha limite non dobbiamo controllare $AAl\inRR$ se $l$ è il suo limite (sono un po' tantini), basta usare il criterio di Cauchy.
Discorso simile si può fare per i sup di insiemi, infatti capire se esiste (finito) il sup di un certo insieme è un problema di esistenza e di nuovo la completezza di $RR$ ci permette di determinare un criterio intrinseco per capire se un insieme ha sup, infatti sappiamo che basta controllare che l'insieme sia non vuoto e limitato superiormente (ok, non è del tutto intrinseco ma è molto più facile da controllare quest'altra condizione di esistenza).
Quindi riassumendo la completezza di $RR$ ci permette di avere dei modi per controllare molto comodamente delle cose che sono veramente cruciali in analisi, senza di essa si potrebbero anche definire le nozioni fondamentali (come ha detto vict85 giustamente, e anche in altri modi), ma non si otterrebbero delle teorie altrettanto soddisfacenti.
Spero che questa risposta ti dia la sensazione di aver colto il "vero" motivo per cui è importante la completezza di $RR$ come la da a me.
Ti ringrazio otta96 per aver scritto i tuoi pensieri al riguardo e grazie a tutti per le risposte.
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