Domanda stupida: fz. diff. in a $=>$ fz. continua in a

[Giuly191]

Sto guardando la dimostrazione del fatto che una funzione differenziabile sia anche continua in quel punto (due passaggi):
per la differenziabilità in $ul(a)$ : $|f(ul(a)+ul(h))-f(ul(a))|=|ul(L)*ul(h)+o(||ul(h)||)|<=|ul(L)*ul(h)|+|o(||ul(h)||)|<=||ul(L)||*||ul(h)||+|o(||ul(h)||)|$ che tende a $0$ se $ul(h)->ul(0)$.
Non capisco a cosa mi serva la disuguaglianza di Schwartz nell'ultimo passaggio, non posso dire che tende a $0$ già dal penultimo?
La risposta penso proprio sia no, ma non capisco perchè!

[maurer]

Nell'ultimo passaggio non hai utilizzato la disuguaglianza di Schwartz (a meno che non assumi [tex]f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb R[/tex]), bensì la definizione di norma operatoriale per le matrici.

Comunque sì, hai concluso anche al penultimo passaggio a patto di riconoscere che le applicazioni lineari sono tutte continue...

[Giuly191]

Sì scusami la definizione è su $ f: RR^n to RR $. E da come è scritta la dimostrazione sul mio libro sembra proprio una cosa indispensabile quella disuguaglianza. Non c'è un motivo?

[maurer]

Utilizzare la disuguaglianza di Schwartz è il modo più semplice e diretto per concludere, nel caso in cui ti sei messo tu. Altrimenti, come ho già osservato, dovresti dimostrare preliminarmente la continuità delle applicazioni lineari. Visto che in questo caso passeresti proprio per la disuguaglianza di Schwartz, i due procedimenti sono del tutto equivalenti!

[Giuly191]

Quindi per dire che tende a 0 dal penultimo passaggio dovrei dimostrare che la funzione: $ ul(h) to ul(L)*ul(h) $, in quanto lineare, è continua. Mentre con la disuguaglianza dell'ultimo passaggio lo posso evitare perchè tanto $ ||ul(L)||*||ul(h)||$ tende a $0$ se $ul(h)->ul(0)$, visto che la norma di un vettore le cui coordinate tendono a 0 tende necessariamente a 0? Ho detto idiozzie?

[maurer]

No hai detto giusto. A parte che si dice idiozie e non idiozzie!

[Giuly191]

Ma va? Grazie anche per questa correzione allora! E' giusto sta volta con una z sola?