Domanda serie a termini non costanti/criterio di Leibniz.

[EvilBlizzard]

Salve ho questa serie $\sum (-1)^n \frac{cos3n-n^2}{n^3+ln(3n+1)}$ Una volta che la studio in convergenza assoluta e vedo che è asintotica a $1/n $, dunque diverge, la studio con il criterio di Leibniz. Devo quindi verificare se $ a_n $ è infinitesimo, e lo è, se è negativo e definitivamente decrescente. Posso dire che è negativo, poichè il numeratore presenta $ n^2 $ che è molto più grande del coseno, oppure dovrei moltiplicare $a_n$ per -1 ?. Se è negativo, esiste un altro modo ,oltre la derivata prima ,per verificare la decrescenza che mi risparmierebbe tantissimi calcoli? Posso dire ,osservando $a_n$, che, decresce dato che il denominatore è più grande del numeratore per ogni n?

Svolgendo i calcoli della derivata prima, se corretti, ottengo:
$ (-3sin(3x)-2x)(x^3+ln(3x+1))-(cos(3x)-x^2)(3x^2+(3/(3x+1)))/((x^3+ln(3x+1))^2) $ che per x grandi mi risulterebbe asintotico a
$ 1/x^2 $ .

[dissonance]

"TeM":

\(\{a_n\}_n\) definitivamente una successione non crescente, ossia

esiste un \(n_0 = 3\) tale che per ogni \(n \ge n_0\) risulta \(a_{n+1} \le a_n\);

Si, ma la domanda era: questo come si dimostra?

[dissonance]

esiste un altro modo ,oltre la derivata prima ,per verificare la decrescenza che mi risparmierebbe tantissimi calcoli?

Ho pensato a una risposta a questa domanda. La situazione è la seguente: abbiamo una serie
\[
\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n, \]
dove $a_n\ge 0$ (in effetti nell'esercizio in questione si ha $a_n\le 0$, basta allora considerare $-a_n$) ed è asintotico a $\frac 1 n$. Se si riesce a dimostrare che
\[
a_n= \frac 1 n + O(\frac 1{n^2}), \]
allora la serie converge perché uno può scrivere
\[
\sum_1^N (-1)^na_n = \sum_1^N (-1)^n \frac 1 n + \sum_1^N (-1)^n\epsilon_n \]
dove $\epsilon_n=O(1/(n^2))$ e quindi è il termine generale di una serie assolutamente convergente. In conclusione, la serie converge.

Questo mi sembra un metodo che in pratica può risparmiare di verificare la monotonia della successione.