Domanda semplice sullo jacobiano in integrali doppi e tripli?
Quando effettuo un cambiamento di coordinate, ad esempio da cartesiano a sferiche/cilindriche, devo inserire nell'integrale anche lo jacobiano associato al cambiamento di coordinate.
Quello che mi sto chiedendo è; se io scrivo un integrale doppio o triplo DIRETTAMENTE in coordinate sferiche o cilindriche (ad esempio in un problema di fisica, dove posso trarre dai dati le dovute conclusioni sui vari estremi di integrazione) devo ANCHE IN QUESTO CASO inserire lo stesso lo jacobiano?
Grazie in anticipo.
Quello che mi sto chiedendo è; se io scrivo un integrale doppio o triplo DIRETTAMENTE in coordinate sferiche o cilindriche (ad esempio in un problema di fisica, dove posso trarre dai dati le dovute conclusioni sui vari estremi di integrazione) devo ANCHE IN QUESTO CASO inserire lo stesso lo jacobiano?
Grazie in anticipo.
Risposte
Dipende da cosa intendi per "direttamente". Prova a fare un esempio.
"Emar":
Dipende da cosa intendi per "direttamente". Prova a fare un esempio.
Un esempio di fisica che sto cercando di risolvere: data una sfera con densità di carica costante $ rho $ e raggio $ a $, si vuole determinare la forza che l'emisfero sud della sfera esercita sull'emisfero nord.
Tramite considerazioni di simmetria (ad esempio che la forza avrà componente non nulla solo quella verticale) arrivo ad impostare un integrale triplo del tipo $ vec(F) = (int_(0)^(a) int_(0)^(pi/2) int_(0)^(pi)dF*cos(vartheta)* dr dvartheta dphi)hat(u_z) $ con $dF=dq*E$, $dq$ ed $E $ noti.
In questo integrale va inserito lo jacobiano sferico?
Se è così no, non puoi prescindere dallo Jacobiano. Il determinante Jacobiano fa parte della misura di volume e non può essere dimenticato.
Altro conto è se euristicamente vai a costruire il determinante Jacobiano con considerazioni geometriche. Sta di fatto che lo devi sempre avere.
Altro conto è se euristicamente vai a costruire il determinante Jacobiano con considerazioni geometriche. Sta di fatto che lo devi sempre avere.
Ok, grazie.
Sempre riguardo all'esercizio che ho postato:
per andare a scrivere $ dq $ ho scritto la seguente $ dq=rho dV=rho*rdvartheta*rsinvarthetadphi*dr $ semplicemente considerando un "volumetto infinitesimo" in coordinate sferiche.
Ho implicitamente costruito lo jacobiano $ r^2sinvartheta $ (che in questa espressione effettivamente è presente)?
"Emar":
Altro conto è se euristicamente vai a costruire il determinante Jacobiano con considerazioni geometriche. Sta di fatto che lo devi sempre avere.
per andare a scrivere $ dq $ ho scritto la seguente $ dq=rho dV=rho*rdvartheta*rsinvarthetadphi*dr $ semplicemente considerando un "volumetto infinitesimo" in coordinate sferiche.
Ho implicitamente costruito lo jacobiano $ r^2sinvartheta $ (che in questa espressione effettivamente è presente)?
Così è ok 
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