Domanda semplice sui moduli
Sia $A^{(I)}$ ($=\oplus_{i \in I}A$) A-modulo. Dare due basi diverse da quella canonica.
Sarà facile, ma non mi viene in mente nulla... Chi mi dà una mano per favore?
Grazie, ciao!
Sarà facile, ma non mi viene in mente nulla... Chi mi dà una mano per favore?
Grazie, ciao!
Risposte
Nel caso in cui $I$ è numerabile l'$A$-modulo che hai scritto è isomorfo come $A$-modulo all'anello dei polinomi $A[X]$. La sua base canonica è quella che consiste delle potenze di $x$. Un'altra base è quella che consiste dei polinomi della forma $sum_{i=0}^n x^i$. Un'altra base è quella che consiste dei polinomi $1$ e $1+x^n$ al variare di $n$.
Se $I$ è n'importe quoi (per dirla alla francese
) lo bene-ordini e fai una cosa analoga (così a occhio mi sembra funzioni).
Ho capito bene il tuo dubbio?
Se $I$ è n'importe quoi (per dirla alla francese
) lo bene-ordini e fai una cosa analoga (così a occhio mi sembra funzioni).Ho capito bene il tuo dubbio?
Hai capito benissimo il mio dubbio, per la seconda base ho capito.
Per quanto riguarda la prima ho una domanda: è possibile sempre estendere il ragionamento dal caso numerabile a quello non numerabile?
Non verrebbe una base della forma ${m_i}_{i \in I}$, ove $m_i={f_{ij}}_{j in I}$, con $f_{ij}=1$ se $i<=j$ e $0$ altrimenti?
Ma in tal caso chi mi dice che gli elementi $m_i$ sono in $A^{(I)}$? Gli elementi di $A^{(I)}$ non dovrebbero essere della forma ${y_j}_{j in I}$, con gli $y_j$ tutti nulli tranne che per un numero finito?
Grazie mille intanto, sei il solito geniaccio...
Per quanto riguarda la prima ho una domanda: è possibile sempre estendere il ragionamento dal caso numerabile a quello non numerabile?
Non verrebbe una base della forma ${m_i}_{i \in I}$, ove $m_i={f_{ij}}_{j in I}$, con $f_{ij}=1$ se $i<=j$ e $0$ altrimenti?
Ma in tal caso chi mi dice che gli elementi $m_i$ sono in $A^{(I)}$? Gli elementi di $A^{(I)}$ non dovrebbero essere della forma ${y_j}_{j in I}$, con gli $y_j$ tutti nulli tranne che per un numero finito?
Grazie mille intanto, sei il solito geniaccio...
Non avevo visto la risposta 
Direi che nel caso $I$ qualunque non è nemmeno necessario bene-ordinarlo: fissi $i ne j$ in $I$, quindi consideri $e_i$, $e_j$ (quelli che hanno 1 nella posizione a pedice e zero altrove) e poi consideri per ogni $k ne i,j$ l'elemento $x_k = e_i+e_j+e_k$. Definisci inoltre $y_k=e_i+e_k$. Allora i due insiemi
${e_i} cup {y_k\ |\ k ne i}$
${e_i,e_j} cup {x_k\ |\ k ne i}$
sono due basi per $A^{(I)}$ diverse dalla base canonica, che è ${e_l\ |\ l in I}$.
Direi che nel caso $I$ qualunque non è nemmeno necessario bene-ordinarlo: fissi $i ne j$ in $I$, quindi consideri $e_i$, $e_j$ (quelli che hanno 1 nella posizione a pedice e zero altrove) e poi consideri per ogni $k ne i,j$ l'elemento $x_k = e_i+e_j+e_k$. Definisci inoltre $y_k=e_i+e_k$. Allora i due insiemi
${e_i} cup {y_k\ |\ k ne i}$
${e_i,e_j} cup {x_k\ |\ k ne i}$
sono due basi per $A^{(I)}$ diverse dalla base canonica, che è ${e_l\ |\ l in I}$.
Grazie mille, che bravo! Un solo dubbio (scusami l'insistenza):
così
o così
${e_i,e_j} cup {x_k\ |\ k ne i, k ne j}$
?
così
"Martino":
${e_i,e_j} cup {x_k\ |\ k ne i}$
o così
${e_i,e_j} cup {x_k\ |\ k ne i, k ne j}$
?
"amel":
Grazie mille, che bravo! Un solo dubbio (scusami l'insistenza):
così
[quote="Martino"]
${e_i,e_j} cup {x_k\ |\ k ne i}$
o così
${e_i,e_j} cup {x_k\ |\ k ne i, k ne j}$
?[/quote]
Hai ragione, quella scritta da te è quella giusta
Ok, perfetto, grazie mille ancora. Ciao!
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