Domanda semplice su maggiorazione
salve ragazzi, ho questa funzione: $f(x,y)=(sinx-x)/(x^2+y^2)$
Mi si chiede di studiarla nell'origine (cioè verificare se è continua nell'origine, derivabile, ecc...).
Ho un problema sulla derivabilità e cioè:
io so che la funzione seno può essere maggiorata così: $|sinx|<=|x|$ se però uso questa maggiorazione nella definizione di derivabilità: $(f(x,0)-f(0,0))/(x)$ ho il risultato 0, mentre se uso lo sviluppo di Taylor relativo al seno ho $-1/6$!
Sapreste spiegarmi perchè i risultati sono diversi e come è meglio procedere?
Grazie in anticipo
Mi si chiede di studiarla nell'origine (cioè verificare se è continua nell'origine, derivabile, ecc...).
Ho un problema sulla derivabilità e cioè:
io so che la funzione seno può essere maggiorata così: $|sinx|<=|x|$ se però uso questa maggiorazione nella definizione di derivabilità: $(f(x,0)-f(0,0))/(x)$ ho il risultato 0, mentre se uso lo sviluppo di Taylor relativo al seno ho $-1/6$!
Sapreste spiegarmi perchè i risultati sono diversi e come è meglio procedere?
Grazie in anticipo
Risposte
"paolotesla91":
... se però uso questa maggiorazione nella definizione di derivabilità: $(f(x,0)-f(x,y))/(x-0)$ ...
La definizione di derivabilità? Rifletti bene su quello che dici: semmai volevi dire "derivata parziale" (rispetto a quale variabile?) che, in ogni caso, è errata (manca un limite e il rapporto incrementale è scritto male).
Prima di maggiorare o altro, perché non provi a fare un po' di semplificazioni algebriche e cerchi di scrivere in maniera più semplice il rapporto incrementale?
scusami ciampax hai ragione ma ieri andavo un pò di fretta ed ho scritto superficialmente!
Comunque a me interessava la derivata parziale rispetto alla direzione $x$ e cioè:
$lim_(x -> 0) (f(x,0)-f(0,0))/x$
Comunque così a prima vista non vedo semplificazioni di altro genere oltre alla maggiorazione del seno!
Altra domanda: ma in un rapporto incrementale si può maggiorare una funzione?
Comunque a me interessava la derivata parziale rispetto alla direzione $x$ e cioè:
$lim_(x -> 0) (f(x,0)-f(0,0))/x$
Comunque così a prima vista non vedo semplificazioni di altro genere oltre alla maggiorazione del seno!
Altra domanda: ma in un rapporto incrementale si può maggiorare una funzione?
potrei scrivere in questo modo:
$lim_(x -> 0) (sinx-x)/x^3$, separo i fattori ed ottengo un limite notevole che tende a 1 ed ho comunque una differenza tra due quantità uguali per cui il limite mi viene 0!
$lim_(x -> 0) (sinx-x)/x^3$, separo i fattori ed ottengo un limite notevole che tende a 1 ed ho comunque una differenza tra due quantità uguali per cui il limite mi viene 0!
"paolotesla91":
$lim_(x -> 0) (sinx-x)/x^3$, separo i fattori ed ottengo un limite notevole che tende a 1 ed ho comunque una differenza tra due quantità uguali per cui il limite mi viene 0!
See, buonanotte. Ma che stai dicendo? Calcola bene quel limite. Non hai nessuna possibilità di imparare qualcosa di analisi 2 se non hai padronanza delle tecniche di analisi 1.
forse non mi sono spiegato bene:
$lim_(x -> 0) (sinx-x)/x^3=sinx/x^3-x/x^3=1/x^2-1/x^2=0$
Dove sbaglio?
$lim_(x -> 0) (sinx-x)/x^3=sinx/x^3-x/x^3=1/x^2-1/x^2=0$
Dove sbaglio?
Poi ti dico dove sbagli, ma se ci arrivi da solo è meglio. Adesso riprova a calcolare quel limite, sviluppando il seno in serie di Taylor arrestata al terzo ordine.
si gia fatto ottengo $-1/6$ è questo che non mi spiego perchè con lo sviluppo di taylor mi viene un risultato ed in quest'altro modo un'altro? Deve esserci un errore ma non capisco qual è!
$lim_(x -> 0) (x-x^3/6+x^5/120-x)/x^3=-1/6$
Ecco.
$lim_(x -> 0) (x-x^3/6+x^5/120-x)/x^3=-1/6$
Ecco.
forse ci sono: nel modo in cui si presenta il rapporto incrementale ho una quantità a numeratore che è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto al denominatore, mentre utilizzando lo sviluppo di taylor ho che il numeratore è sicuramente un o-piccolo del denominatore giusto?
O Madonna santissima. Ma come ragioni? Ti vengono due risultati diversi, quindi per forza almeno una delle due cose che hai fatto è sbagliata. Il procedimento che hai seguito con i polinomi di Taylor è giusto, anche se hai preso la perniciosa abitudine di non scrivere l'o-piccolo nel corso dello svolgimento, fatto che ti porta facilmente a clamorosi strafalcioni. Meglio sarebbe scrivere
\[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}=\lim_{x\to 0} \frac{-\frac{x^3}{6}+o(x^4)}{x^3}=-\frac{1}{6}.\]
Se questo procedimento è corretto, l'altro è sicuramente sbagliato e ciò che devi fare è trovare l'errore, non puoi pensare di trovare una giustificazione!!! Rivedi bene i passaggi che hai fatto prima. Ti dico che hai fatto delle semplificazioni selvagge, ingiustificate, giungendo ad una conclusione errata. Cerca di capire perché. Se leggi con attenzione questo post troverai dei suggerimenti.
\[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}=\lim_{x\to 0} \frac{-\frac{x^3}{6}+o(x^4)}{x^3}=-\frac{1}{6}.\]
Se questo procedimento è corretto, l'altro è sicuramente sbagliato e ciò che devi fare è trovare l'errore, non puoi pensare di trovare una giustificazione!!! Rivedi bene i passaggi che hai fatto prima. Ti dico che hai fatto delle semplificazioni selvagge, ingiustificate, giungendo ad una conclusione errata. Cerca di capire perché. Se leggi con attenzione questo post troverai dei suggerimenti.
ah giusto nell'ultimo passaggio non ho fatto proprio caso alla forma indeterminata $infty-infty$!
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