Domanda riguarda il metodo di risoluzione integrale
Salve a tutti, sto studiando le basi di programmazione e come esercizio ho dovuto creare un programmino che calcolasse l'integrale da $a$ a $b$ di una determinata funzione. Al fine di restituire il risultato è stato implementato il "metodo del rettangolo", ossia far eseguire una sommatoria al computer di base x altezza di $n$ rettangoli che approssimano la funzione.
Ovviamente quando più è piccolo $n$ tanto più grande sarà l'errore di approssimazione. La mia domanda è: nell'integrale che si fa a mano (quello di Riemann che insegnano alle superiori per capirsi) perché non c'è un termine di errore? Come è possibile che lo svolgimento di quello a mano sia decisamente più facile (per le funzioni più basilari ovviamente) tanto poter essere svolto da un umano in qualche minuto, mentre il computer deve usare la sommatoria?
Grazie
Ovviamente quando più è piccolo $n$ tanto più grande sarà l'errore di approssimazione. La mia domanda è: nell'integrale che si fa a mano (quello di Riemann che insegnano alle superiori per capirsi) perché non c'è un termine di errore? Come è possibile che lo svolgimento di quello a mano sia decisamente più facile (per le funzioni più basilari ovviamente) tanto poter essere svolto da un umano in qualche minuto, mentre il computer deve usare la sommatoria?
Grazie
Risposte
Perché abbiamo inventato il calcolo differenziale! (in particolare il teorema fondamentale del calcolo).
Pensa a questo: se usi il tuo programma per calcolare l'integrale della funzione $f(x)=x$ tra zero e uno troverai sempre un risultato approssimato. Ma se uno ti dice che stai calcolando l'area di un triangolo di base $1$ e altezza $1$ ?
In realtà anche in questo caso semplice c'è un calcolo (non banale) per dimostrare che le sommatorie tendono all'area del triangolo (che fa $\frac{1}{2}$), a tendere del "passo" a zero.
Di questi "calcoli" ne abbiamo fatti un po', per alcune funzioni "elementari" e ne abbiamo ricavato un po' di regole per fare prima (anche se in verità queste funzioni sono pochissime rispetto a tutte le funzioni possibili).
Pensa a questo: se usi il tuo programma per calcolare l'integrale della funzione $f(x)=x$ tra zero e uno troverai sempre un risultato approssimato. Ma se uno ti dice che stai calcolando l'area di un triangolo di base $1$ e altezza $1$ ?
In realtà anche in questo caso semplice c'è un calcolo (non banale) per dimostrare che le sommatorie tendono all'area del triangolo (che fa $\frac{1}{2}$), a tendere del "passo" a zero.
Di questi "calcoli" ne abbiamo fatti un po', per alcune funzioni "elementari" e ne abbiamo ricavato un po' di regole per fare prima (anche se in verità queste funzioni sono pochissime rispetto a tutte le funzioni possibili).
Ciao!
Correggimi se sbaglio, quindi per calcolare l'integrale di una funzione si utilizza il calcolo differenziale (sommatoria con metodo del rettangolo/trapezio). Quello che noi facciamo a mano sono degli "shortcut" che possono essere applicati all'integrale di alcune funzioni, cioè il classico esercizio di calcolare l'integrale a mano è svolto tramite appunto queste regolette, il computer invece svolge il metodo "puro".
Perdona la mia metodologia poco "matematichese", spero di essermi spiegato.
Grazie : )
Correggimi se sbaglio, quindi per calcolare l'integrale di una funzione si utilizza il calcolo differenziale (sommatoria con metodo del rettangolo/trapezio). Quello che noi facciamo a mano sono degli "shortcut" che possono essere applicati all'integrale di alcune funzioni, cioè il classico esercizio di calcolare l'integrale a mano è svolto tramite appunto queste regolette, il computer invece svolge il metodo "puro".
Perdona la mia metodologia poco "matematichese", spero di essermi spiegato.
Grazie : )
Mi sembra che tu abbia colto il punto.
Un altro esempio. Se tu ritagli a caso un pezzo di cartone non puoi sapere quant'è la sua area e devi misurarla in qualche modo (approsimandola per rettangoli o magari pesando il pezzo -supposto che abbia sezone costante). Se però ritagli un cerchio e misuri il diametro ecco che hai una formula.
Un ulteriore commento: quello del limite dell'area dei "plurirettangoli approssimanti" è la DEFINIZIONE di area (che magari tu hai al vivello intuitivo). Ti faccio anche notare che avviene spessisissimo di definire una nozione in modo generale e poi derivare delle tecniche di calcolo che valgono nei casi più favorevoli. Anche la derivata di per sè è definita mediante il limite del rapporto incrementale (e nei software che risolvono equazioni differenziali si usa grosso modo questa definizione). Poi però si trovano le derivate delle funzioni elementari per cui se devo derivare la funzione $f(x)=x^2$ non applico la definizione ma so che $f'(x)=2x$ per una regoletta che ho dimostrato una volta per tutte.
Un altro esempio. Se tu ritagli a caso un pezzo di cartone non puoi sapere quant'è la sua area e devi misurarla in qualche modo (approsimandola per rettangoli o magari pesando il pezzo -supposto che abbia sezone costante). Se però ritagli un cerchio e misuri il diametro ecco che hai una formula.
Un ulteriore commento: quello del limite dell'area dei "plurirettangoli approssimanti" è la DEFINIZIONE di area (che magari tu hai al vivello intuitivo). Ti faccio anche notare che avviene spessisissimo di definire una nozione in modo generale e poi derivare delle tecniche di calcolo che valgono nei casi più favorevoli. Anche la derivata di per sè è definita mediante il limite del rapporto incrementale (e nei software che risolvono equazioni differenziali si usa grosso modo questa definizione). Poi però si trovano le derivate delle funzioni elementari per cui se devo derivare la funzione $f(x)=x^2$ non applico la definizione ma so che $f'(x)=2x$ per una regoletta che ho dimostrato una volta per tutte.
Chiaro. Grazie mille per l'ottima spiegazione 
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