Domanda numeri fattoriali + Esercizio Landau o-piccolo
Salve a tutti,
un quesito probabilmente semplice ma che mi arrovella
In un esercizio sui simboli di Landau mi sono trovato - in un passaggio - questa semplificazione:
\(\displaystyle n!\cdot 2n!=2n^2 \)
Ma non riesco a "capire" il perchè di questa apparente ovvietà...
Grazie!
un quesito probabilmente semplice ma che mi arrovella
In un esercizio sui simboli di Landau mi sono trovato - in un passaggio - questa semplificazione:
\(\displaystyle n!\cdot 2n!=2n^2 \)
Ma non riesco a "capire" il perchè di questa apparente ovvietà...
Grazie!
Risposte
Sarà un errore:
\[n!\cdot 2n!=2(n!)^2\]
(cit. Capitan Ovvio
)
Comunque hai sbagliato stanza; la prossima volta posta in Geometria e Algebra
\[n!\cdot 2n!=2(n!)^2\]
(cit. Capitan Ovvio
) Comunque hai sbagliato stanza; la prossima volta posta in Geometria e Algebra
Ciao, grazie per la risposta e mi scuso per l'errore di stanza 
Supponevo in un errore... ma visto che anche alcuni risolutori online (Ex: MyAlgebra) davano quella soluzione mi son venuti ancora più dubbi
Supponevo in un errore... ma visto che anche alcuni risolutori online (Ex: MyAlgebra) davano quella soluzione mi son venuti ancora più dubbi
Mah mi pare strano...se $n$ è intero positivo, gli unici numeri che soddisfano la tua equazione sono $1$ e $2$...Per gli altri verifichi facilmente che non è cosi! (prendi $3$, ad esempio)
(prendi $3$, ad esempio)
Proprio facendo le prove non mi tornavano i conti
Ultima domanda sul "tema", la binomiale $((3n),(n))$ è scrivibile come: $3/(2n!)$
Chiedo questo perchè l'esercizio di cui sopra chiedeva se la binomiale presentata era un $o(2^n)$ ed avendo certezza nel passaggio posso capire la risposta
Giusto per chiudere il giro (nel caso serva ad altri che leggono) l'esercizio era:
"Stabilire se la seguente affermazione è vera per n->infinito"
$((3n),(n))$ = $o(2^n)$
la cui risposta - se non ho sbagliato - è positiva.
Ultima domanda sul "tema", la binomiale $((3n),(n))$ è scrivibile come: $3/(2n!)$
Chiedo questo perchè l'esercizio di cui sopra chiedeva se la binomiale presentata era un $o(2^n)$ ed avendo certezza nel passaggio posso capire la risposta
Giusto per chiudere il giro (nel caso serva ad altri che leggono) l'esercizio era:
"Stabilire se la seguente affermazione è vera per n->infinito"
$((3n),(n))$ = $o(2^n)$
la cui risposta - se non ho sbagliato - è positiva.
No, fai attenzione con i fattoriali:
$((3n)!)/(n!(2n)!) != (3n!)/(n!2n!)$
$((3n)!)/(n!(2n)!) != (3n!)/(n!2n!)$
Ah ok....allora ho cannato per bene.... come si potrebbe semplificare la scrittura per fare un contronto con l'"o piccolo" del problema?
Non credo ci sia da semplificare la scrittura. Se quello è un o-piccolo di $2^n$, per definizione:
$lim_{n->+infty} ((3n)!)/(n!(2n)!2^n) =0$
Per verificare questo limite basta usare il criterio del rapporto.
$lim_{n->+infty} ((3n)!)/(n!(2n)!2^n) =0$
Per verificare questo limite basta usare il criterio del rapporto.
Ok, ero convinto si potesse semplificare per dedurre meglio il comportamento ed evindeziare meglio quale erano i fattori dominanti.
Può anche darsi, ma non lo vedo. Comunque se ti interessa studiare meglio il comportamento puoi sempre usare l'approssimazione di Stirling per i fattoriali.
Posso approfittare di te per un'ulteriore domanda? usando il criterio del rapporto 3(n+1)! come lo scomponi poi per le opportune semplificazioni? 3n!(3n+1)?
Mi accorgo di avere delle belle lacune sui fattoriali, stò cercando in rete spiegazioni ed esempi per recuperare
Mi accorgo di avere delle belle lacune sui fattoriali, stò cercando in rete spiegazioni ed esempi per recuperare
Esatto, penso sia una svista la parentesi dopo il 3 e non prima.
Intendi $(3n+1)!$ = $3n!*3(n+1)! $
No, mi ero confuso. Il calcolo corretto per quel termine è così:
$(3(n+1))! =(3n+3)! =(3n+3)(3n+2)(3n+1)*(3n)!$
$(3(n+1))! =(3n+3)! =(3n+3)(3n+2)(3n+1)*(3n)!$
Quindi svolgendo il limite usando il criterio del rapporto:
$(3(n+1)!)/((n+1)!2(n+1)!*2^(n+1))*(n!*(2n)!*2^n)/((3n)!)$
Che esplicitando diviene:
$(3n!(3n+3)(3n+2)(3n+1))/(n!(n+1)*2n!(2n+2)(2n+1)*2^n*2)*(n!*(2n)!*2^n)/((3n)!)$
Semplificando poi ottengo:
$((3n+3)(3n+2)(3n+1))/((n+1)*(2n+2)(2n+1)*2)$
da cui:
$(24n^3+53n^2+33n+6)/(8n^3+20n^2+16n+4)$
$(n^3*(24+53/n+33/(n^2)+6/(n^3)))/(n^3*(8+20/n+16/(n^2)+4/(n^3)))$
Avendo n->+Inf i termini con n al denominatore tendono a zero.
Quindi rimane
$(24/8)=3$
Essendo il limite diverso da zero o-piccolo non è quindi verificato.... sempre che non abbia sbagliato qualcosa
$(3(n+1)!)/((n+1)!2(n+1)!*2^(n+1))*(n!*(2n)!*2^n)/((3n)!)$
Che esplicitando diviene:
$(3n!(3n+3)(3n+2)(3n+1))/(n!(n+1)*2n!(2n+2)(2n+1)*2^n*2)*(n!*(2n)!*2^n)/((3n)!)$
Semplificando poi ottengo:
$((3n+3)(3n+2)(3n+1))/((n+1)*(2n+2)(2n+1)*2)$
da cui:
$(24n^3+53n^2+33n+6)/(8n^3+20n^2+16n+4)$
$(n^3*(24+53/n+33/(n^2)+6/(n^3)))/(n^3*(8+20/n+16/(n^2)+4/(n^3)))$
Avendo n->+Inf i termini con n al denominatore tendono a zero.
Quindi rimane
$(24/8)=3$
Essendo il limite diverso da zero o-piccolo non è quindi verificato.... sempre che non abbia sbagliato qualcosa
Concordo sul risultato. Solo qualche imperfezione di notazione, perché ad esempio $3n! =3*n! != (3n)!$, quindi in pratica hai esplicitato male, però poi hai semplificato intendendo i termini correttamente, quindi la semplificazione è giusta.
Infine inutile calcolare per bene tutti i prodotti, visto che si sa che a comandare sono i termini di grado più alto, quindi:
$(27n^3)/(8n^3) > 1$
quindi comunque il limite non è nullo.
Infine inutile calcolare per bene tutti i prodotti, visto che si sa che a comandare sono i termini di grado più alto, quindi:
$(27n^3)/(8n^3) > 1$
quindi comunque il limite non è nullo.
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