Domanda integrale di lebesgue

[sdrabb1]

Volevo sapere se l'integrale di lebesgue è definito solo per funzioni non negative?
Grazie in anticipo!

[gugo82]

Domanda secca, risposta secca: no.

[sdrabb1]

Grazie mille! Ma allora qnd lo definisco tramite funzioni semplici, essendo queste non negative parlo di integrale di lebesgue di funzioni non negative giusto?
Quindi c'è anche una generalizzazione alle funzioni negative se nn ho capito male....
Ti ringrazio anticipatamente

[gugo82]

Beh, basta tenere presente che ogni funzione numerica reale \(f\) si scrive come differenza della sua parte positiva e della sua parte negativa, cioé come \(f^+ -f^-\) con:
\[
f^+(x):=\max \{0,f(x)\}\qquad \text{e} \qquad f^-(x):=\max \{0,-f(x)\}\; ,
\]
sicché per una buona definizione di integrale basta porre:
\[
\int_X f\ \text{d} \mu = \int_X f^+\ \text{d} \mu - \int_X f^-\ \text{d} \mu\; .
\]
L'unico problema è che entrambi gli integrali a secondo membro possono essere infiniti... A questo problema, di solito, si ovvia richiedendo per definizione che \(|f|\in L^1(X)\), di modo che sia \(f^+\) sia \(f^-\) hanno integrale finito (perché evidentemente si ha \(f^+,f^-\leq |f|\) in \(X\)).

Ricapitolando, una funzione \(f:X\to \hat{\mathbb{R}}\) è integrabile secondo Lebesgue se e solo se \(\int_X |f|\ \text{d} \mu<\infty\); in tal caso:
\[
\int_X f\ \text{d} \mu = \int_X f^+\ \text{d} \mu - \int_X f^-\ \text{d} \mu\; .
\]

[sdrabb1]

Sei stato chiarissimo grazie mille!