Domanda generale sull'esistenza di un limite di funzione

[trefe.ra4]

Salve, mi è sorto un dubbio sull'esistenza di limiti di funzioni:
Se ho due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ che all'infinito non ammettono limite, cioè se $lim_(x->oo) f(x)$ e $lim_(x->oo) g(x)$ non esistono allora posso affermare che non esiste neanche il limite del loro rapporto (cioè posso dire che non esiste neanche questo limite: $lim_(x->oo) (f(x)/g(x))$)?

[Seneca1]

L'esempio più banale che mi viene in mente: $lim_(x -> +oo) (cos(x) + 2)/(cos(x) + 2) = 1$

[trefe.ra4]

ok....e se invece chiedo che siamo diverse le due funzioni?

[Seneca1]

E' una domanda che non vale la pena porsi, secondo me. Che significa "diverse"?

$f(x) = cos(x) + 2$ e $g(x) = - cos(x) - 2$ sono funzioni diverse, eppure il limite del rapporto tende a $-1$.

[trefe.ra4]

mmm....si quello che dici è più che giusto. Questo dubbio però mi era sorto studiando gli integrali impropri e il teorema del confronto asintotico, dove si afferma che se ho due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ entrambe positive e se il limite all'infinito del loro rapporto è un numero $L in (0,+oo)$ allora gli integrali impropri delle due funzioni hanno lo stesso comportamento. Ora però ho pensato: mettiamo che come nelle ipotesi il limite del rapporto sia un numero, se ho che una delle due funzioni non ha limite all'infinito allora il suo integrale improprio non potrà convergere, quindi secondo il teorema non convergerà neanche l'altra funzione, questo però implica che anche l'altra funzione non abbia limite (questa è un'affermazione di cui non sono per niente sicuro però non sono riuscito a trovare controesempi). In fin dei conti se la mia affermazione di prima è giusta (e forse sta proprio qui il baco di tutto il ragionamento...) avrei trovato che le due funzioni non ammettono limite all'infinito, mentre il loro rapporto si ed è un numero $L in (0,+oo)$. Da qui è venuta fuori la domanda che ho posto inizialmente! Fatemi sapere cosa ne pensate, sono curioso...
Ciao

[Giuly191]

"trefe.ra4": se ho che una delle due funzioni non ha limite all'infinito allora il suo integrale improprio non potrà convergere

questo non è vero, prendi $ int_(0)^(+oo) sin(x^2) dx $, l'integranda non ha limite, eppure quell'integrale improprio converge.