Domanda formula integrazione per sostituzione

[marco tosato]

Salve,
sto approcciando per la prima volta il calcolo integrale per sostituzione.
Ho una domanda (penso veramente banale) ma a cui non so dare dimostrazione.
Supponiamo di dover risolvere il seguente integrale:
$\int \tg(x)dx$,
pongo $\cos(x) = t$ per effettuare la sostituzione.
Ora, quello che è stato fatto ad esercitazione è: $t=\cos(x) \rightarrow \dt=-\sin(x)dx$.
Per quanto intuitivo quest'ultimo passaggio possa essere, non me lo so spiegare. E' giusto pensala come
$\frac{d(t)}{dt}dt=\frac{d(\cos(x))}{dx}dx$?
Ringrazio in anticipo chiunque fosse in grado di chiarirmi il dubbio, magari con una dimostrazione più rigorosa.

[ghira1]

Ho da poco visto https://www.flyingcoloursmaths.co.uk/as ... -required/

[pilloeffe]

Ciao marco tosato,

Benvenuto sul forum!

Beh, puoi anche pensarla come differenziale della funzione $t = t(x) = cos(x) $
Oppure, in maniera sicuramente non rigorosa ma che in questi casi "funziona", derivare la funzione $t = t(x) $ rispetto a $\text{d}x $ e poi moltiplicare tutto per $\text{d}x $...

[dissonance]

"marco tosato":
Ora, quello che è stato fatto ad esercitazione è: $t=\cos(x) \rightarrow \dt=-\sin(x)dx$.

Questo è solo un passaggio mnemonico, per ricordarsi la formula. Non attribuire significato a cose che non ce l'hanno. Se vuoi capire bene la teoria, studia la dimostrazione del teorema di sostituzione negli integrali, che poi è essenzialmente il teorema di derivazione della funzione composta.

[pilloeffe]

"marco tosato":Ringrazio in anticipo chiunque fosse in grado di chiarirmi il dubbio, magari con una dimostrazione più rigorosa.

Potresti dare un'occhiata ad esempio al capitolo 3. Integrazione per sostituzione di questa dispensa di gugo82.