Domanda flash sulla Weak Topology
Mi scuso anticipatamente se andrò a chiedere delle banalità, ma sono concetti che ho iniziato a studiare solo ieri, e vorrei fare chiarezza (in particolare su una parte della dimostrazione della lemma di Mazur).
Considero uno spazio normato \(E\), e \(C \subseteq E\) convesso. Se \((x_n)_{n \ge 1} \subseteq C \) è tale che \(x_n \rightharpoonup x\) (i.e. \((x_n)_{n \ge 1}\) converge debolmente ad \(x\)), è vero che \(x \in \overline{C} {}^{\sigma(E,E^*)}\)[nota]In realtà dovrebbe valere questo fatto (che comunque non riesco a provare): se \((x_n)_{n \ge 1} \subseteq E \) è tale che \(x_n \rightharpoonup x\), allora \(x \in \overline{G} {}^{\sigma(E,E^*)} \), ove \[G = \text{conv} \{x_n \}_{n \ge 1} \]ovverosia è l'insieme di tutte le combinazioni convesse degli \(x_n\).[/nota]? Il viceversa è sicuramente vero perché se \(C\) è convesso, chiusura debole e chiusura forte coincidono, quindi se \(x \in \overline{C} {}^{\sigma(E,E^*)}\) allora \(x \in \overline{C} {}^{\| \cdot \|}\) (e viceversa), e pertanto esiste una \((x_n)_{n \ge 1} \) t.c. \( x_n \to x\); si conclude osservando che la convergenza forte implica quella debole.
Ringrazio.
Considero uno spazio normato \(E\), e \(C \subseteq E\) convesso. Se \((x_n)_{n \ge 1} \subseteq C \) è tale che \(x_n \rightharpoonup x\) (i.e. \((x_n)_{n \ge 1}\) converge debolmente ad \(x\)), è vero che \(x \in \overline{C} {}^{\sigma(E,E^*)}\)[nota]In realtà dovrebbe valere questo fatto (che comunque non riesco a provare): se \((x_n)_{n \ge 1} \subseteq E \) è tale che \(x_n \rightharpoonup x\), allora \(x \in \overline{G} {}^{\sigma(E,E^*)} \), ove \[G = \text{conv} \{x_n \}_{n \ge 1} \]ovverosia è l'insieme di tutte le combinazioni convesse degli \(x_n\).[/nota]? Il viceversa è sicuramente vero perché se \(C\) è convesso, chiusura debole e chiusura forte coincidono, quindi se \(x \in \overline{C} {}^{\sigma(E,E^*)}\) allora \(x \in \overline{C} {}^{\| \cdot \|}\) (e viceversa), e pertanto esiste una \((x_n)_{n \ge 1} \) t.c. \( x_n \to x\); si conclude osservando che la convergenza forte implica quella debole.
Ringrazio.
Risposte
Mi sembra che sia un fatto di topologia generale... un insieme chiuso è sempre anche chiuso per successioni... quindi $x$, limite debole di $x_n$, sta nella chiusura debole di $C$, che è chiuso.
Grazie, quindi la convessità è in questo caso un'ipotesi aggiuntiva. Il fatto è che tutti questi fatterelli io li ho visti dal punto di vista metrico (cioè in spazi metrici)... quindi mi devo adattare.
Eh si, infatti se la topologia non è metrizzabile, come lo è quella debole su tutto lo spazio (è vero invece sui limitati) capita che ci siano insiemi chiusi per successioni ma non chiusi.
In generale, i concetti di insieme chiuso e chiuso per successioni coincidono negli spazi topologici soddisfacenti il primo assioma di numerabilità (\(\displaystyle\mathrm{N}_1\)).
@j18eos: Cosa vuoi dire? Tutti gli spazi metrici soddisfano l'assioma che dici. Probabilmente intendevi dire "spazi topologici"
@dissonance Sì,infatti... è stata una mia disortografia! 
si vero quello che dici, avevo fatto l'esempio dei metrici perché pareva che Delirium non avesse tanta dimestichezza con le topologie più strane, per andare al pelo della caratterizzazione sequenziale serve il primo assioma di numerabilità, ovvero che ogni punto ha un sistema fondamentale di intorni al più numerabile. Visto che siamo in tema, colgo l'occasione anche per dire che opportune generalizzazioni del concetto di successione (nets, filtri) permettono di caratterizzare ogni topologia mediante queste successioni generalizzate.
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