Domanda facile sulla serie geometrica

[Sk_Anonymous]

Sto studiando le serie e non ho capito da dove viene fuori l'uguaglianza:
$s_n=1+q+q^2+...+q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)$
Mi sto riferendo alla serie geometrica. Grazie

[dubbio1]

Grazie dissonance e Stormy, davvero!

[CaMpIoN]

Il passaggio effettuato per ottenere $q^{n+1}-1$ è generalmente un'applicazione della serie telescopica comunque.

[kobeilprofeta]

In che senso?

[CaMpIoN]

La serie telescopica dice che
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n (a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_0 \)
Di solito ho visto dimostrare la formula utilizzando questa.

[kobeilprofeta]

Sì, ho presente le serie telescopiche. Il mio dubbio era su come scrivere $q^n$ sotto forma di $a_{n+1}-a_n$.

[CaMpIoN]

\(\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n q^k\)
\(\displaystyle qS_n=\sum_{k=0}^n q^{k+1}\)
Sottraggo la prima alla seconda
\(\displaystyle qS_n-S_n=\sum_{k=0}^n q^{k+1}-\sum_{k=0}^n q^k=\sum_{k=0}^n (q^{k+1}-q^k) \)
Raccolgo al primo membro, al secondo membro ho la serie telescopica
\(\displaystyle S_n \cdot (q-1)=\sum_{k=0}^n (q^{k+1}-q^k)=q^{n+1}-1 \)
Trovo $S_n$ dall'equazione
\(\displaystyle S_n \cdot (1-q)=1-q^{n+1} \quad \to \quad S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \)
Fine.

[kobeilprofeta]

Okok tutto chiaro thanks

[kobeilprofeta]

e intanto che ci siamo vediamo anche come ci si arriva con gli integrali...
Quello che farei io é $lim_{t to 0^+} \int_t^n q^x dx$...
Che dovrebbe essere $lim_{t to 0^+} [q^x/(ln q)]_t^n= lim_{x to 0^+} q^n/(ln q)-q^t/(ln q)=(q^n-1)/(ln q)$.