Domanda facile sulla serie geometrica
Sto studiando le serie e non ho capito da dove viene fuori l'uguaglianza:
$s_n=1+q+q^2+...+q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)$
Mi sto riferendo alla serie geometrica. Grazie
$s_n=1+q+q^2+...+q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)$
Mi sto riferendo alla serie geometrica. Grazie
Risposte
Intanto quella uguaglianza è vera se $q!=1$
Ciò posto, si può facilmente dimostrare per induzione che $(1-q)*(1+q+q^2+....+q^n)=1-q^(n+1)
Ciò posto, si può facilmente dimostrare per induzione che $(1-q)*(1+q+q^2+....+q^n)=1-q^(n+1)
Ma anche senza induzione... 
Hai:
[tex]$S_n = 1+q+q^2+\ldots +q^n $[/tex]
[tex]$qS_n=\quad q+q^2+\ldots +q^n+q^{n+1}$[/tex]
dalle quali, sottraendo m.a.m., segue:
[tex]$(1-q)S_n=1-q^{n+1}$[/tex]
e da qui il passo è davvero breve...
Hai:
[tex]$S_n = 1+q+q^2+\ldots +q^n $[/tex]
[tex]$qS_n=\quad q+q^2+\ldots +q^n+q^{n+1}$[/tex]
dalle quali, sottraendo m.a.m., segue:
[tex]$(1-q)S_n=1-q^{n+1}$[/tex]
e da qui il passo è davvero breve...
Giustissimo! Molto meglio seguire la strada indicata da gugo
"gugo82":
Ma anche senza induzione...
Hai:
[tex]$S_n = 1+q+q^2+\ldots +q^n $[/tex]
[tex]$qS_n=\quad q+q^2+\ldots +q^n+q^{n+1}$[/tex]
dalle quali, sottraendo m.a.m., segue:
[tex]$(1-q)S_n=1-q^{n+1}$[/tex]
e da qui il passo è davvero breve...
Grazie Gugo, tutto chiaro
"Soscia":
[quote="gugo82"]Ma anche senza induzione...
Hai:
[tex]$S_n = 1+q+q^2+\ldots +q^n $[/tex]
[tex]$qS_n=\quad q+q^2+\ldots +q^n+q^{n+1}$[/tex]
dalle quali, sottraendo m.a.m., segue:
[tex]$(1-q)S_n=1-q^{n+1}$[/tex]
e da qui il passo è davvero breve...
Grazie Gugo, tutto chiaro[/quote]
Riprendo questo topic. Non ho capito perchè , se $q>=1$, le somme parziali divergono; o meglio, è evidente che divergono, ma solo se $q>1$, perchè se $q$ fosse anche uguale ad $1$ c'è il denominatore $1-q$ che si annullerebbe, o no?
L'uguaglianza $s_n=1+q+q^2+...+q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)$ vale se e soltanto se $q!=1$, altrimenti l'espressione non ha significato.
D'altra parte, però, è evidente che, se $q=1$, la successione delle ridotte di $sum_(n=0)^oo q^n = 1+1+1+1+1+1+...$ diverge positivamente.
Insomma, il caso $q=1$ è un caso a sé stante, che si liquida con una semplice considerazione iniziale, per poi passare a studiare il caso $q!=1$.
Chiaro?
D'altra parte, però, è evidente che, se $q=1$, la successione delle ridotte di $sum_(n=0)^oo q^n = 1+1+1+1+1+1+...$ diverge positivamente.
Insomma, il caso $q=1$ è un caso a sé stante, che si liquida con una semplice considerazione iniziale, per poi passare a studiare il caso $q!=1$.
Chiaro?
"Paolo90":
L'uguaglianza $s_n=1+q+q^2+...+q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)$ vale se e soltanto se $q!=1$, altrimenti l'espressione non ha significato.
D'altra parte, però, è evidente che, se $q=1$, la successione delle ridotte di $sum_(n=0)^oo q^n = 1+1+1+1+1+1+...$ diverge positivamente.
Insomma, il caso $q=1$ è un caso a sé stante, che si liquida con una semplice considerazione iniziale, per poi passare a studiare il caso $q!=1$.
Chiaro?
Okok, perfetto, grazie. Un'altra cosa: il criterio di Cauchy applicato alle serie afferma che una serie è convergente se e soltanto se due somme parziali consecutive, $S_n$ e $S_m$, sono "abbastanza" vicine tra loro, ossia minori di un epsilon arbitrario $>0$ per una scelta degli indici abbastanza elevati. Questo mi è chiaro. Non mi è chiara, invece, l'altra formulazione del criterio di Cauchy, dove, anzichè scrivere la disuguaglianza $|S_n-S_m|
Su, che questa è facile. Non ci credo se dici che non ci potevi arrivare.
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#377717
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#377717
"dissonance":
Su, che questa è facile. Non ci credo se dici che non ci potevi arrivare.
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#377717
Mah, io sono un tipo molto pratico, diciamo che le definizioni non sono il mio forte, però riflettendoci bene, significa forse che, se la serie è convergente, è possibile sommare termini di $a_k$ che risultano, per un'opportuna scelta degli indici, minori del margine $e$ fissato?
Insomma, è possibile sommare quantità così piccole che esse possono risultare minori di $e$
Si, si, è giusta l'idea intuitiva. Ma io mi riferivo a questo:
E' chiaro che è la stessa cosa scrivere
$S_n-S_m$
oppure
$a_{m+1}+...+a_n$.
No?
Insomma, perchè
|Sn-Sm|=|ap+ap+1+...+ap+q|?
E' chiaro che è la stessa cosa scrivere
$S_n-S_m$
oppure
$a_{m+1}+...+a_n$.
No?
"dissonance":
Si, si, è giusta l'idea intuitiva. Ma io mi riferivo a questo:
Insomma, perchè
|Sn-Sm|=|ap+ap+1+...+ap+q|?
E' chiaro che è la stessa cosa scrivere
$S_n-S_m$
oppure
$a_{m+1}+...+a_n$.
No?
Mi è chiaro, ma non troppo
; allora, $S_m=a_a+a_b+a_c+...a_m$, vero?
$S_n=S_m+a_n$
Quindi $S_n-S_m=S_m+a_n-(a_a+a_b+a_c+...a_m)=a_n$. C'è qualcosa che non mi torna...
$a_a, a_b, a_c$... Ma che dici? Che sistema di numerazione sarebbe questo, con le lettere dell'alfabeto? E allora, arrivato ad $a_z$ poi come continui? Ti ricordo che devi sommare infiniti termini, non certo 21.
Scusa, ma scrivi $a_1, a_2, a_3, ...$. Allora $S_n=a_1+a_2+...+a_n$. Ok? Adesso prendi $m$ più piccolo di $n$. Sottrai $S_m$ ad $S_n$, ovvero fai questo conto:
[tex]$\underbrace{a_1+...+a_m+a_{m+1}+...+a_n}_{S_n}-\underbrace{(a_1+...+a_m)}_{S_m}[/tex]
Quanto fa?
Scusa, ma scrivi $a_1, a_2, a_3, ...$. Allora $S_n=a_1+a_2+...+a_n$. Ok? Adesso prendi $m$ più piccolo di $n$. Sottrai $S_m$ ad $S_n$, ovvero fai questo conto:
[tex]$\underbrace{a_1+...+a_m+a_{m+1}+...+a_n}_{S_n}-\underbrace{(a_1+...+a_m)}_{S_m}[/tex]
Quanto fa?
Ah, ok, perfetto, mi imbrogliavo soltanto con il simbolismo, grazie
mi riallaccio a questa interessante discussione: non riesco a capire come si ottiene il membro destro dell'equazione. in ottica matematica come si è trovato? qualcuno ha materialmente sottratto le due Sn? o?
qualcuno m'illumina gentilmente? in giro ho trovato solo "verifiche" della suddetta formula ma non, appunto, il processo di creazione della stessa
qualcuno m'illumina gentilmente? in giro ho trovato solo "verifiche" della suddetta formula ma non, appunto, il processo di creazione della stessa
Quale disequazione?
"kobeilprofeta":
Quale disequazione?
il membro destro dell'equazione che rappresenta la serie geometrica:
$ (1-x^(n+1))/(1-x) $
Ah ok. Se guardi i primi messaggi di questo topic è stato spiegato in maniera esaustiva.
"kobeilprofeta":
Ah ok. Se guardi i primi messaggi di questo topic è stato spiegato in maniera esaustiva.
mi spiace ma non sono riuscito a vedere come la formula si crea in maniera naturale. sinceramente c'ho visto piuttosto una verifica ma non la creazione. intendo: il primo che l'ha formulata come ci è arrivato?
ci è arrivato come ti è stato già detto
posto
$S_n=1+q+q^2+...+q^n$
è ovvio che
$qS_n=q+q^2+...+q^(n+1)$
$qS_n-S_n=S_n(q-1)$
ma,sottraendo i secondi membri,è anche uguale a $q^(n+1)-1$
quindi
$S_n=(q^(n+1)-1)/(q-1)=(1-q^(n+1))/(1-q)$
posto
$S_n=1+q+q^2+...+q^n$
è ovvio che
$qS_n=q+q^2+...+q^(n+1)$
$qS_n-S_n=S_n(q-1)$
ma,sottraendo i secondi membri,è anche uguale a $q^(n+1)-1$
quindi
$S_n=(q^(n+1)-1)/(q-1)=(1-q^(n+1))/(1-q)$
Conosci la formula
\[
(1+q)(1-q)=1-q^2?\]
La puoi riscrivere
\[
1+q=\frac{1-q^2}{1-q}.\]
E' già un inizio. Ora aggiungiamo \(q^2\):
\[
1+q+q^2=\frac{1-q^2+q^2-q^3}{1-q}=\frac{1-q^3}{1-q}.\]
Mi pare sufficiente per congetturare che ci sia qualcosa sotto.
Non so ora se "il primo che ci è arrivato" abbia ragionato così. Queste formule si possono vedere in molti modi diversi. Un'altra versione, forse più "adulta", passa dalle radici dell'unità, e precisamente dall'osservazione che \(1\) è una radice di \(x^n-1\). Effettuando la divisione tra polinomi, si trova
\[
x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1).\]
Dividendo per \(x-1\) salta fuori di nuovo la formula di prima.
\[
(1+q)(1-q)=1-q^2?\]
La puoi riscrivere
\[
1+q=\frac{1-q^2}{1-q}.\]
E' già un inizio. Ora aggiungiamo \(q^2\):
\[
1+q+q^2=\frac{1-q^2+q^2-q^3}{1-q}=\frac{1-q^3}{1-q}.\]
Mi pare sufficiente per congetturare che ci sia qualcosa sotto.
Non so ora se "il primo che ci è arrivato" abbia ragionato così. Queste formule si possono vedere in molti modi diversi. Un'altra versione, forse più "adulta", passa dalle radici dell'unità, e precisamente dall'osservazione che \(1\) è una radice di \(x^n-1\). Effettuando la divisione tra polinomi, si trova
\[
x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1).\]
Dividendo per \(x-1\) salta fuori di nuovo la formula di prima.
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