Domanda: equazione con logaritmo
ciao a tutti....
Ho bisogno di un suggerimento.
Devo porre X^2/2 + log (x+1)=0
Come faccio???
Forse è un pò banale ma vediamo che ne esce.
[size=75]PS: ho tolto il bold e precisato un poco il titolo. Fioravante Patrone[/size]
Ho bisogno di un suggerimento.
Devo porre X^2/2 + log (x+1)=0
Come faccio???
Forse è un pò banale ma vediamo che ne esce.
[size=75]PS: ho tolto il bold e precisato un poco il titolo. Fioravante Patrone[/size]
Risposte
Benvenuto nel forum.
Per ottenere maggiori informazioni, è necessario che i titoli dei tuoi thread siano meno generici di "domanda" o "aiuto, come prescrive il regolamento
3.3 Il titolo deve indicare l'argomento da discutere, sono da evitare richiami generici del tipo "Aiutooo", "sono disperato" e frasi analoghe che non comunicano il vero oggetto della discussione.
Inoltre, è da evitare l'uso del grassetto o del maiuscolo.
Per ottenere maggiori informazioni, è necessario che i titoli dei tuoi thread siano meno generici di "domanda" o "aiuto, come prescrive il regolamento
3.3 Il titolo deve indicare l'argomento da discutere, sono da evitare richiami generici del tipo "Aiutooo", "sono disperato" e frasi analoghe che non comunicano il vero oggetto della discussione.
Inoltre, è da evitare l'uso del grassetto o del maiuscolo.
L'unica soluzione è x=0. Per vedere che questa è l'unca soluzione devi rappresentare graficamente le due funzioni che compongono l'equazione
$x^2/2 + log (x+1)=0$, che potrebbero essere $ log (x+1)=-x^2/2$, cioè $y=-x^2/2 $ e $y=log (x+1)$, dai grafici si deduce che la soluzione è $x=0$
$x^2/2 + log (x+1)=0$, che potrebbero essere $ log (x+1)=-x^2/2$, cioè $y=-x^2/2 $ e $y=log (x+1)$, dai grafici si deduce che la soluzione è $x=0$
Studiamo la derivata di $f(x)=x^2/2+log(x+1)$: abbiamo $f'(x)=x+1/(x+1)=(x^2+x+1)/(x+1)$ e si vede facilmente che essa è sempre positiva per $x> -1$ (ricordo che $x> -1$ rappresenta l'insieme di definizione di $f$); ne viene che $f$ è crescente strettamente in $]-1,+oo[$ cosicchè se l'equazione $f(x)=0$ ammette una soluzione essa è necessariamente unica.
Da quanto ha notato Amelia, $x=0$ è una soluzione di $f(x)=0$ e da quanto detto sopra discende che $x=0$ è l'unica soluzione di $f(x)=0$.
Da quanto ha notato Amelia, $x=0$ è una soluzione di $f(x)=0$ e da quanto detto sopra discende che $x=0$ è l'unica soluzione di $f(x)=0$.
"Gugo82":
Studiamo la derivata di $f(x)$...cut....
Buona idea, non ci avevo pensato
"Gugo82":
$f$ è crescente strettamente in $]-1,+oo[$ cosicchè se l'equazione $f(x)=0$ ammette una soluzione essa è necessariamente unica.
In base a cosa si può dire che la sol è unica, in base al grado del numeratore?
Per avere più flessi e quindi più soluzioni occorre aumentare il grado del numeratore?
"raff5184":
[quote="Gugo82"] $f$ è crescente strettamente in $]-1,+oo[$ cosicchè se l'equazione $f(x)=0$ ammette una soluzione essa è necessariamente unica.
In base a cosa si può dire che la sol è unica, in base al grado del numeratore?
Per avere più flessi e quindi più soluzioni occorre aumentare il grado del numeratore?[/quote]
Non necessariamente, l'affermazione viene fuori dal teorema dell'unicità della soluzione (noi lo chiamiamo così)...
Se una funzione $f(x)$ è continua e preso un intervallo $[a,b]$(appartenete al dominio fi $f$) con $f(a)f(b)<0$ e la sua derivata risulta continua e monotona (non necessarieme crescente) allore ESITE UN UNICO punto $c$ t.c. $f(c)=0$...
ciao
Chissa' se chi ha posto la domanda per lo meno legge tutte queste risposte.
"Domè89":
Se una funzione $f(x)$ è continua e preso un intervallo $[a,b]$(appartenete al dominio fi $f$) con $f(a)f(b)<0$ e la sua derivata risulta continua e monotona (non necessarieme crescente) allore ESITE UN UNICO punto $c$ t.c. $f(c)=0$...
ciao
ah ecco io sapevo che esiste ALMENO UN PUNTO... è evidente che facevo ipotesi meno forti
Anche se, come detto, a gabriele985 probabilmente non interessa piu' questo post, ci sono pero' utenti del forum che lo stanno leggendo.
Devo allora correggere l'intervento di Domé (su cui il successivo post di raff5184 ha attirato la mia attenzione):
No, detto cosi' e' falso.
- ovviamente nelle ipotesi ci deve essere anche la derivabilita' di $f$
- non e' necessaria la continuita' della derivata prima
- la monotonia riguarda la $f$, non certo la $f'$
- e occorre la stretta monotonia. Se la funzione e' solo monotona, puo' avere un tratto "piatto". E se in questo tratto assume il valore zero...
Invito Domè89 a provare a riformulare il "teorema di unicita'" in modo corretto.
Devo allora correggere l'intervento di Domé (su cui il successivo post di raff5184 ha attirato la mia attenzione):
"Domè89":
...
l'affermazione viene fuori dal teorema dell'unicità della soluzione (noi lo chiamiamo così)...
Se una funzione $f(x)$ è continua e preso un intervallo $[a,b]$(appartenete al dominio fi $f$) con $f(a)f(b)<0$ e la sua derivata risulta continua e monotona (non necessarieme crescente) allore ESITE UN UNICO punto $c$ t.c. $f(c)=0$...
No, detto cosi' e' falso.
- ovviamente nelle ipotesi ci deve essere anche la derivabilita' di $f$
- non e' necessaria la continuita' della derivata prima
- la monotonia riguarda la $f$, non certo la $f'$
- e occorre la stretta monotonia. Se la funzione e' solo monotona, puo' avere un tratto "piatto". E se in questo tratto assume il valore zero...
Invito Domè89 a provare a riformulare il "teorema di unicita'" in modo corretto.
@raff5184
Provo a rispondere. Semmai, se non ho capito bene la domanda, replicherai.
Mi pare tutto parta da Gugo82 il quale osserva che la funzione che si stava studiando e' strettamente crescente.
Ovvio che questa ipotesi non dice nulla per quanto riguarda l'esistenza di uno "zero" della funzione (se so solo che una funzione e' strettamente crescente, nulla vieta che essa sia sempre positiva o sempre negativa).
Ma che garantisca l'unicita' di uno "zero" e' immediato (e senza nessuna necessita' di ipotesi aggiuntive). Basta notare che una funzione strettamente crescente e' iniettiva.
Detto questo, e' evidente che sono a "rischio" di avere piu' "zeri" se ho una funzione che non e' strettamente crescente.
Anche la crescenza debole non e' sufficiente. Basta pensare ad una funzione che in [-1,1] vale zero, e che poi a sx di 0 vale $-(x+1)^2$ e a dx di 1 vale $(x-1)^2$.
Notare che invece di elevare alla seconda posso mettere una potenza piu' elevata, se voglio garantire che la funzione sia abbastanza "liscia".
Di solito la non unicita' e' comunque dovuta ad un comportamento "oscillante" della funzione: basta pensare alla elongazione di una molla rispetto alla posizione di equilibrio (fissata convenzionalmente in 0): se allunghiamo la molla e la lasciamo andare, essa ripassa parecchie volte da zero, sia in un modello matematico in cui non considero le dispersioni di calore, che in un modello matematico piu' realistico in cui si tenga conto della dissipazione di energia.
Provo a rispondere. Semmai, se non ho capito bene la domanda, replicherai.
Mi pare tutto parta da Gugo82 il quale osserva che la funzione che si stava studiando e' strettamente crescente.
Ovvio che questa ipotesi non dice nulla per quanto riguarda l'esistenza di uno "zero" della funzione (se so solo che una funzione e' strettamente crescente, nulla vieta che essa sia sempre positiva o sempre negativa).
Ma che garantisca l'unicita' di uno "zero" e' immediato (e senza nessuna necessita' di ipotesi aggiuntive). Basta notare che una funzione strettamente crescente e' iniettiva.
Detto questo, e' evidente che sono a "rischio" di avere piu' "zeri" se ho una funzione che non e' strettamente crescente.
Anche la crescenza debole non e' sufficiente. Basta pensare ad una funzione che in [-1,1] vale zero, e che poi a sx di 0 vale $-(x+1)^2$ e a dx di 1 vale $(x-1)^2$.
Notare che invece di elevare alla seconda posso mettere una potenza piu' elevata, se voglio garantire che la funzione sia abbastanza "liscia".
Di solito la non unicita' e' comunque dovuta ad un comportamento "oscillante" della funzione: basta pensare alla elongazione di una molla rispetto alla posizione di equilibrio (fissata convenzionalmente in 0): se allunghiamo la molla e la lasciamo andare, essa ripassa parecchie volte da zero, sia in un modello matematico in cui non considero le dispersioni di calore, che in un modello matematico piu' realistico in cui si tenga conto della dissipazione di energia.
"Fioravante Patrone":
@raff5184
Provo a rispondere. Semmai, se non ho capito bene la domanda, replicherai.
Mi pare tutto parta da Gugo82 il quale osserva che la funzione che si stava studiando e' strettamente crescente.
Ovvio che questa ipotesi non dice nulla per quanto riguarda l'esistenza di uno "zero" della funzione (se so solo che una funzione e' strettamente crescente, nulla vieta che essa sia sempre positiva o sempre negativa).
Ma che garantisca l'unicita' di uno "zero" e' immediato (e senza nessuna necessita' di ipotesi aggiuntive). Basta notare che una funzione strettamente crescente e' iniettiva.
Detto questo, e' evidente che sono a "rischio" di avere piu' "zeri" se ho una funzione che non e' strettamente crescente.
Anche la crescenza debole non e' sufficiente. Basta pensare ad una funzione che in [-1,1] vale zero, e che poi a sx di 0 vale $-(x+1)^2$ e a dx di 1 vale $(x-1)^2$.
Notare che invece di elevare alla seconda posso mettere una potenza piu' elevata, se voglio garantire che la funzione sia abbastanza "liscia".
Di solito la non unicita' e' comunque dovuta ad un comportamento "oscillante" della funzione: basta pensare alla elongazione di una molla rispetto alla posizione di equilibrio (fissata convenzionalmente in 0): se allunghiamo la molla e la lasciamo andare, essa ripassa parecchie volte da zero, sia in un modello matematico in cui non considero le dispersioni di calore, che in un modello matematico piu' realistico in cui si tenga conto della dissipazione di energia.
grazie mille per la risposta. E' tutto chiaro.
Io dicevo di avere ALMENO uno zero in quanto facevo riferimento al teorema di Bolzano-Weiestrass e quindi ero in ipotesi più deboli, di qui il mio dubbio.
Fiovante patrone certo che mi interessando tutte queste soluzioni che mi avete dato, altrimenti non avrei chiesto una vostra consulenza.....grazie a tutti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo