Domanda dimostrazione integrale di flusso
Seguendo il corso di elettromagnetismo in parallelo con analisi 2 mi trovo però con un dubbio matematico che non mi pare di aver affrontato nel corso si analisi e vorrei trovarne una dimostrazione formale.
C'è spesso un passaggio che viene svolto ossia (adesempio):
$\int_Sigma\rot(\vecE)*\vecnd\Sigma=\int_Sigma-(\partial\vecB)/(\partialt)*\vecnd\Sigma$
data l'arbitrarietà di sigma (cioè valendo per ogni $\Sigma$) dell'integrale di flusso allora l'uguaglianza vale anche per gli integrandi
$rot(\vecE)=-(\partial\vecB)/(\partialt)$
Ma questo come si dimostra? Non ho trovato la dimostrazione.
Vi ringrazio
*********************
PS: peraltro si usa anche nella integrazione di volume un risultato analogo
$\int_V\vec\grad*\vecAdV=\int_VgdV$ se vale perogni V allora $\vec\grad*vecA=gdV$
ma anche qui dimostrazione non pervenuta di cui mi piacerebbe assai leggerne a riguardo se aveste dei link!
C'è spesso un passaggio che viene svolto ossia (adesempio):
$\int_Sigma\rot(\vecE)*\vecnd\Sigma=\int_Sigma-(\partial\vecB)/(\partialt)*\vecnd\Sigma$
data l'arbitrarietà di sigma (cioè valendo per ogni $\Sigma$) dell'integrale di flusso allora l'uguaglianza vale anche per gli integrandi
$rot(\vecE)=-(\partial\vecB)/(\partialt)$
Ma questo come si dimostra? Non ho trovato la dimostrazione.
Vi ringrazio
*********************
PS: peraltro si usa anche nella integrazione di volume un risultato analogo
$\int_V\vec\grad*\vecAdV=\int_VgdV$ se vale perogni V allora $\vec\grad*vecA=gdV$
ma anche qui dimostrazione non pervenuta di cui mi piacerebbe assai leggerne a riguardo se aveste dei link!
Risposte
Grazie dissonance. Devo dire che trovo puttosto complessa la seconda risposta. Ci ragiono un po' 
Si, ok, sono tutti tecnicismi. Ma l'idea di fondo è facilissima. Prendiamo il caso più semplice; supponiamo che \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\) e \(g\colon \mathbb R\to \mathbb R\) siano funzioni continue tali che
\[
\int_I f\, dx=\int_I g\, dx, \]
per ogni intervallo \(I\subset \mathbb R\). Vogliamo dimostrare che \(f=g\), ovvero che \(h=f-g\) è identicamente nulla. A questo scopo, fissiamo \(x\in\mathbb R\) e osserviamo che
\[
\frac{1}{2\delta}\int_{x-\delta}^{x+\delta} h(y)\, dy=0,
\]
per ogni \(\delta>0\), per definizione. Ma per la formula fondamentale del calcolo, il membro sinistro tende a \(h(x)\) quando \(\delta\to 0\). E questo dimostra che \(h(x)=0\), come volevamo.
C'è da generalizzare al caso in cui \(f\) e \(g\) sono funzioni continue di \(n\) variabili; in tal caso l'ipotesi è che
\[
\int_B f\, dx = \int_B g\, dx, \]
per ogni palla \(B\subset \mathbb R^n\). Essenzialmente è sempre la stessa cosa. Magari usare la formula fondamentale del calcolo è un po' meno immediato, anche se è sicuramente possibile, oppure puoi usare un argomento diretto come qui: https://math.stackexchange.com/a/326788/8157
Si può poi rimuovere la richiesta che \(f\) e \(g\) siano continue. In quel caso, la conclusione diventa un pelino più debole; avremo che \(f=g\) *quasi ovunque*. Non so se hai mai visto un po' di teoria della misura; se no, smetti di leggere, quanto fatto finora è più che sufficiente per capire l'elettromagnetismo. Altrimenti, sappi che la dimostrazione di prima, quella con la formula fondamentale del calcolo, continua ad essere valida al caso di funzioni integrabili di \(n\) variabili reali. La formula fondamentale del calcolo, però, va sostituita dal teorema della differenziazione di Lebesgue; vedi qui https://math.stackexchange.com/a/28838/8157 (noto che l'autore di questa risposta, Julián Aguirre è morto l'anno scorso, era professore all'università di Bilbao, lo conoscevo).
E infine c'è la generalizzazione delle generalizzazioni. Che succede se \(f\) e \(g\) sono funzioni su uno spazio di misura astratto, e non necessariamente su \(\mathbb R^n\)? Resta sostanzialmente tutto vero, https://math.stackexchange.com/a/326862/8157
\[
\int_I f\, dx=\int_I g\, dx, \]
per ogni intervallo \(I\subset \mathbb R\). Vogliamo dimostrare che \(f=g\), ovvero che \(h=f-g\) è identicamente nulla. A questo scopo, fissiamo \(x\in\mathbb R\) e osserviamo che
\[
\frac{1}{2\delta}\int_{x-\delta}^{x+\delta} h(y)\, dy=0,
\]
per ogni \(\delta>0\), per definizione. Ma per la formula fondamentale del calcolo, il membro sinistro tende a \(h(x)\) quando \(\delta\to 0\). E questo dimostra che \(h(x)=0\), come volevamo.
C'è da generalizzare al caso in cui \(f\) e \(g\) sono funzioni continue di \(n\) variabili; in tal caso l'ipotesi è che
\[
\int_B f\, dx = \int_B g\, dx, \]
per ogni palla \(B\subset \mathbb R^n\). Essenzialmente è sempre la stessa cosa. Magari usare la formula fondamentale del calcolo è un po' meno immediato, anche se è sicuramente possibile, oppure puoi usare un argomento diretto come qui: https://math.stackexchange.com/a/326788/8157
Si può poi rimuovere la richiesta che \(f\) e \(g\) siano continue. In quel caso, la conclusione diventa un pelino più debole; avremo che \(f=g\) *quasi ovunque*. Non so se hai mai visto un po' di teoria della misura; se no, smetti di leggere, quanto fatto finora è più che sufficiente per capire l'elettromagnetismo. Altrimenti, sappi che la dimostrazione di prima, quella con la formula fondamentale del calcolo, continua ad essere valida al caso di funzioni integrabili di \(n\) variabili reali. La formula fondamentale del calcolo, però, va sostituita dal teorema della differenziazione di Lebesgue; vedi qui https://math.stackexchange.com/a/28838/8157 (noto che l'autore di questa risposta, Julián Aguirre è morto l'anno scorso, era professore all'università di Bilbao, lo conoscevo).
E infine c'è la generalizzazione delle generalizzazioni. Che succede se \(f\) e \(g\) sono funzioni su uno spazio di misura astratto, e non necessariamente su \(\mathbb R^n\)? Resta sostanzialmente tutto vero, https://math.stackexchange.com/a/326862/8157
La prima parte è molto chiara e ti ringrazio per la tua risposta ulteriore.
Quello che mi manca in effetti è teoria della misura che ahimé non viene fatta nel mio corso a quanto ho potuto constatare. Posso chiederti in quali parti della triennale di matematica viene fatta? Più che altro per vedere il corso della mia uni di matematica e magari mettere occhio alle dispense. In effetti è già una cosa che mi sarebbe paiciuto approfondire di mio ne colgo l'occasione.
"dissonance":
Si può poi rimuovere la richiesta che \(f\) e \(g\) siano continue. In quel caso, la conclusione diventa un pelino più debole; avremo che \(f=g\) *quasi ovunque*. Non so se hai mai visto un po' di teoria della misura; se no, smetti di leggere, quanto fatto finora è più che sufficiente per capire l'elettromagnetismo. Altrimenti, sappi che la dimostrazione di prima, quella con la formula fondamentale del calcolo, continua ad essere valida al caso di funzioni integrabili di \(n\) variabili reali. La formula fondamentale del calcolo, però, va sostituita dal teorema della differenziazione di Lebesgue; vedi qui https://math.stackexchange.com/a/28838/8157 (noto che l'autore di questa risposta, Julián Aguirre è morto l'anno scorso, era professore all'università di Bilbao, lo conoscevo).
Quello che mi manca in effetti è teoria della misura che ahimé non viene fatta nel mio corso a quanto ho potuto constatare. Posso chiederti in quali parti della triennale di matematica viene fatta? Più che altro per vedere il corso della mia uni di matematica e magari mettere occhio alle dispense. In effetti è già una cosa che mi sarebbe paiciuto approfondire di mio ne colgo l'occasione.
Ciao, teoria della misura in genere a matematica si fa, ora però non so a che punto del programma, etc... Ma lascia perdere le dispense, tutte queste cose inutili, fanno perdere un casino di tempo a chi le deve scrivere e poi a chi le deve leggere, perché di solito sono di scarsa qualità.
La matematica, come tutto, si studia sui libri. C'è tempo, dopo, per le dispense leggiucchiate, articoli scritti coi piedi, fotocopie... Adesso che sei studente puoi permetterti il lusso di leggere libri. Sulla teoria della misura libri ce ne sono a tonnellate. Uno famoso è il Rudin, "Real and complex analysis", ma se cerchi sul forum ne sono stati consigliati molti altri. A me piace molto il libro di Gerry Folland, "Real analysis", se cerchi in rete troverai facilmente delle scansioni, così ti fai una idea.
La matematica, come tutto, si studia sui libri. C'è tempo, dopo, per le dispense leggiucchiate, articoli scritti coi piedi, fotocopie... Adesso che sei studente puoi permetterti il lusso di leggere libri. Sulla teoria della misura libri ce ne sono a tonnellate. Uno famoso è il Rudin, "Real and complex analysis", ma se cerchi sul forum ne sono stati consigliati molti altri. A me piace molto il libro di Gerry Folland, "Real analysis", se cerchi in rete troverai facilmente delle scansioni, così ti fai una idea.
Grazie per i tuoi preziosi consigli di lettura. Proverò a cimentarmici con curiosità:)
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