Domanda difficile su norme in spazi $L^p$
Mi sono imbattuto in una formula difficile che non riesco a capire.
Sia $D_n$ il nucleo di Dirichlet, cioè $D_n=\sum_{k=-n}^n e^(ikx)$ e sia $f\in L^\infty$ continua e periodica (anche se non credo che queste ultime 2 proprietà servano in questa formula che non capisco, bensì più avanti nella dimostrazione che sto considerando)
Ho la seguente uguaglianza che non capisco da dove discenda:
$Sup$ al variare di $ {f \ : \ ||f||_1=1}$ di $||D_n ** f||_(\infty)$ = $Sup$ al variare di ${f,g \ : \ ||f||_(\infty)=1, ||g||_1=1}$ di $|\int (D_n**f)(x)* \bar g(x)dx|$
dove $||f||_1$ è la norma in $L^1$ e allo stesso modo $||f||_(\infty)$ è la norma in $L^(\infty)$.
Chiedo scusa per come ho scritto la formula, ma mi sembrava più chiara scritta così, piuttosto che condensando sotto il Sup l'insieme in cui andare a considerare tale Sup
Se c'è qualcuno che riesce ad aiutarmi grazie
Sia $D_n$ il nucleo di Dirichlet, cioè $D_n=\sum_{k=-n}^n e^(ikx)$ e sia $f\in L^\infty$ continua e periodica (anche se non credo che queste ultime 2 proprietà servano in questa formula che non capisco, bensì più avanti nella dimostrazione che sto considerando)
Ho la seguente uguaglianza che non capisco da dove discenda:
$Sup$ al variare di $ {f \ : \ ||f||_1=1}$ di $||D_n ** f||_(\infty)$ = $Sup$ al variare di ${f,g \ : \ ||f||_(\infty)=1, ||g||_1=1}$ di $|\int (D_n**f)(x)* \bar g(x)dx|$
dove $||f||_1$ è la norma in $L^1$ e allo stesso modo $||f||_(\infty)$ è la norma in $L^(\infty)$.
Chiedo scusa per come ho scritto la formula, ma mi sembrava più chiara scritta così, piuttosto che condensando sotto il Sup l'insieme in cui andare a considerare tale Sup
Se c'è qualcuno che riesce ad aiutarmi grazie
Risposte
Se hai uno spazio di Banach [tex]$(X,\ ||\cdot ||)$[/tex] ed il suo duale [tex]$(X^*,\ ||\cdot ||_*)$[/tex], allora risulta:
[tex]$||x|| =\sup_{x^* \in X^*,\ ||x^*||_*=1} \lvert \langle x,x^* \rangle \rvert$[/tex],
ove [tex]$\langle \cdot ,\cdot \rangle$[/tex] denota la dualità tra [tex]$X$[/tex] ed [tex]$X^*$[/tex] (in parole poverissime [tex]$\langle x ,x^*\rangle =x^* (x)$[/tex] -ricorda che [tex]$x^*:X\to \mathbb{C}$[/tex] è un funzionale lineare continuo); questa è una conseguenza del teorema di prolungamento di Hahn-Banach.
Visto che [tex]$(L^1)^*=L^\infty$[/tex] e che la dualità tra i due spazi è definita come [tex]$\langle x, x^* \rangle :=\int x(t) \ \overline{x^*(t)} \text{ d} t$[/tex] (ho cambiato un po' la notazione, per uniformarmi con quella di sopra, ed ho preso [tex]$x\in L^1$[/tex] e [tex]$x^* \in L^\infty$[/tex]; ovviamente nel tuo caso [tex]$x=D_nf \in L^1$[/tex] e [tex]$x^*=g\in L^\infty$[/tex]), dovresti aver finito...
[tex]$||x|| =\sup_{x^* \in X^*,\ ||x^*||_*=1} \lvert \langle x,x^* \rangle \rvert$[/tex],
ove [tex]$\langle \cdot ,\cdot \rangle$[/tex] denota la dualità tra [tex]$X$[/tex] ed [tex]$X^*$[/tex] (in parole poverissime [tex]$\langle x ,x^*\rangle =x^* (x)$[/tex] -ricorda che [tex]$x^*:X\to \mathbb{C}$[/tex] è un funzionale lineare continuo); questa è una conseguenza del teorema di prolungamento di Hahn-Banach.
Visto che [tex]$(L^1)^*=L^\infty$[/tex] e che la dualità tra i due spazi è definita come [tex]$\langle x, x^* \rangle :=\int x(t) \ \overline{x^*(t)} \text{ d} t$[/tex] (ho cambiato un po' la notazione, per uniformarmi con quella di sopra, ed ho preso [tex]$x\in L^1$[/tex] e [tex]$x^* \in L^\infty$[/tex]; ovviamente nel tuo caso [tex]$x=D_nf \in L^1$[/tex] e [tex]$x^*=g\in L^\infty$[/tex]), dovresti aver finito...
Prima di tutto grazie mille per esserti occupato della mia domanda.
Ho però ancora qualche dubbio.
Infatti nella uguaglianza che ho scritto a sinistra dell'uguale prendevo il Sup sulle $f$ tali che $||f||_1=1$
Nella parte destra della formula invece prendo il Sup sulle $f$ tali che $||f||_(\infty)=1$
Come si spiega questa cosa?
Ho però ancora qualche dubbio.
Infatti nella uguaglianza che ho scritto a sinistra dell'uguale prendevo il Sup sulle $f$ tali che $||f||_1=1$
Nella parte destra della formula invece prendo il Sup sulle $f$ tali che $||f||_(\infty)=1$
Come si spiega questa cosa?
Mmmm... Non mi ero accorto che cambiavano gli indici delle norme.
Potrebbe essere un errore di stampa (o di scrittura, se sono appunti presi a lezione)... Ma non sono troppo esperto in materia per dire una parola definitiva sulla questione.
Provato a controllare su un (altro) libro?
*** EDIT: No, avevo proprio letto male... Mea culpa.
Anzi, ora ho paura che il teorema da me citato in precedenza non c'entri un fico secco con la tua questione! Uff...
Al momento non so risponderti; dovrei documentarmi meglio... Ma aspetto finisca la partita del Napoli.
Potrebbe essere un errore di stampa (o di scrittura, se sono appunti presi a lezione)... Ma non sono troppo esperto in materia per dire una parola definitiva sulla questione.
Provato a controllare su un (altro) libro?
*** EDIT: No, avevo proprio letto male... Mea culpa.
Anzi, ora ho paura che il teorema da me citato in precedenza non c'entri un fico secco con la tua questione! Uff...
Al momento non so risponderti; dovrei documentarmi meglio... Ma aspetto finisca la partita del Napoli.
Il problema è che non è facile trovarla su un altro libro.
Si tratta di una dimostrazione piuttosto avanzata di analisi armonica.
E il fatto che quella norma passi da $L_1$ a $L_(\infty)$ mi serve per continuare dopo.
Può però darsi che sia sbagliata proprio l'impostazione della dimostrazione (capita anche sui migliori libri).
Boh...
Grazie mille comunque dell'interessamento.
Si tratta di una dimostrazione piuttosto avanzata di analisi armonica.
E il fatto che quella norma passi da $L_1$ a $L_(\infty)$ mi serve per continuare dopo.
Può però darsi che sia sbagliata proprio l'impostazione della dimostrazione (capita anche sui migliori libri).
Boh...
Grazie mille comunque dell'interessamento.
Che libro è?
Professor Paolo Maurizio Soardi, professore di analisi all'università di Milano Bicocca.
Il titolo del libro ora non me lo ricordo perchè è solo in consultazione in biblioteca.
"Conosco" il professor Soardi ed è un ottimo matematico e quindi penso che la sua dimostrazione sia giusta.
Certo che degli errori capitano a tutti...
Il titolo del libro ora non me lo ricordo perchè è solo in consultazione in biblioteca.
"Conosco" il professor Soardi ed è un ottimo matematico e quindi penso che la sua dimostrazione sia giusta.
Certo che degli errori capitano a tutti...
Allora, come si chiama il teorema? Almeno l'enunciato?
Insomma, se devo cominciare a cercare, mi piacerebbe avere qualche informazione utile...
Poi vedi tu; puoi sempre chiedere al prof, casomai.
Insomma, se devo cominciare a cercare, mi piacerebbe avere qualche informazione utile...
Poi vedi tu; puoi sempre chiedere al prof, casomai.
Il teorema non ha un nome.
Comunque domani ti posto il titolo del libro, ma non impazzire: posso vivere anche senza saperlo
L'enunciato di ciò che devo mostrare (e che sul libro è un pochino più complicato, ma sostanzialmente identico) è:
Sia $S$ l'operatore definito da $C_(per)$ a $C_(per)$ (dove con $C_(per)$ indico lo spazio delle funzioni continue su $[-\pi,\pi]$)
come $S(f)(x)=(D_n**f)(x)$ con $D_n$ nucleo di Dirichlet che ho ricordato prima e $**$ simbolo della convoluzione.
Allora $||S||=||D_n||_1$
Comunque domani ti posto il titolo del libro, ma non impazzire: posso vivere anche senza saperlo
L'enunciato di ciò che devo mostrare (e che sul libro è un pochino più complicato, ma sostanzialmente identico) è:
Sia $S$ l'operatore definito da $C_(per)$ a $C_(per)$ (dove con $C_(per)$ indico lo spazio delle funzioni continue su $[-\pi,\pi]$)
come $S(f)(x)=(D_n**f)(x)$ con $D_n$ nucleo di Dirichlet che ho ricordato prima e $**$ simbolo della convoluzione.
Allora $||S||=||D_n||_1$
Pensavo, visto che [tex]$L^\infty =\left( L^1\right)^*$[/tex] (se lo spazio di misura è [tex]$\sigma$[/tex]-finito... Ma sei su una circonferenza [tex]$T$[/tex], quindi ciò è vero), allora per definizione di norma duale hai:
[tex]$||D_n\star f||_\infty =\sup_{||g||_1=1} \lvert \langle D_n\star f ,\ g\rangle \rvert =\sup_{||g||_1=1} \left\lvert \int_T \big( D_n\star f\big) (x) \ \overline{g(x)} \text{ d} x\right\rvert$[/tex]
quindi se non cambiasse l'indice vicino alla norma di [tex]$f$[/tex] nell'estremo superiore a secondo membro saresti a cavallo, no?
[tex]$||D_n\star f||_\infty =\sup_{||g||_1=1} \lvert \langle D_n\star f ,\ g\rangle \rvert =\sup_{||g||_1=1} \left\lvert \int_T \big( D_n\star f\big) (x) \ \overline{g(x)} \text{ d} x\right\rvert$[/tex]
quindi se non cambiasse l'indice vicino alla norma di [tex]$f$[/tex] nell'estremo superiore a secondo membro saresti a cavallo, no?
Purtroppo però quella norma cambia, quindi ci deve essere qualcosa sotto....
Comunque grazie per questa caratterizzazione della norma duale che non conoscevo.
Mi potresti dire un libro o un link su internet in cui trovarla
Comunque grazie per questa caratterizzazione della norma duale che non conoscevo.
Mi potresti dire un libro o un link su internet in cui trovarla
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