Domanda di teoria: monotonona de\crescente.
Ciao.
Ho questa successione: $1/(sqrt(n)+2)$
Sul libro dice che è monotona decrescente.
Non riesco a capire come si fa a vedere se una successione è monotona crescente o decrescente.
Ad esempio $1/log(n)$ è decrescente, ma è monotona?
Ho questa successione: $1/(sqrt(n)+2)$
Sul libro dice che è monotona decrescente.
Non riesco a capire come si fa a vedere se una successione è monotona crescente o decrescente.
Ad esempio $1/log(n)$ è decrescente, ma è monotona?
Risposte
"clever":
Ciao.
Ho questa successione: $1/(sqrt(n)+2)$
Sul libro dice che è monotona decrescente.
Non riesco a capire come si fa a vedere se una successione è monotona crescente o decrescente.
Ad esempio $1/log(n)$ è decrescente, ma è monotona?
Dire decrescente o monotona decrescente è la stessa cosa
Ah bene, primo dubbio tolto.
Secondo dubbio: come faccio praticamente a vedere se è decrescente o crescente?
La cosa migliore sarebbe fare lo studio della funzione, (se è una non nota), ma se ho poco tempo e mi serve giusto sapere se è decrescente, in quanto mi serve per il criterio di Leibniz.
Secondo dubbio: come faccio praticamente a vedere se è decrescente o crescente?
La cosa migliore sarebbe fare lo studio della funzione, (se è una non nota), ma se ho poco tempo e mi serve giusto sapere se è decrescente, in quanto mi serve per il criterio di Leibniz.
"clever":
Ah bene, primo dubbio tolto.
Secondo dubbio: come faccio praticamente a vedere se è decrescente o crescente?
La cosa migliore sarebbe fare lo studio della funzione, (se è una non nota), ma se ho poco tempo e mi serve giusto sapere se è decrescente, in quanto mi serve per il criterio di Leibniz.
Nella maggior parte dei casi si vede ad occhio e si può poi mostrare per induzione (se proprio uno vuole essere preciso preciso).
Altrimenti si può fare la derivata e se è maggiore o uguale a zero è crescente (nel senso che può essere anche costante); mentre se è minore o uguale a zero è decrescente
Per induzione non ho mai provato, con le derivate sembra più 'veloce'.
Tipo se ho questa serie:
$((2^n)+1)/((3^n)+n)$
Posso affermare che è a termini positivi e che diverge positivamente?
Senza che io faccia le derivate.
Tipo se ho questa serie:
$((2^n)+1)/((3^n)+n)$
Posso affermare che è a termini positivi e che diverge positivamente?
Senza che io faccia le derivate.
Che sia a termini positivi è evidente...
Per la monotonia, di solito io faccio così: prendo [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] e scrivo fianco a fianco i termini [tex]$n$[/tex]-esimo ed [tex]$n+1$[/tex]-esimo della successione separati da uno spazio:
(a) [tex]$\frac{2^n+1}{3^n+n} \qquad \frac{2^{n+1}+1}{3^{n+1}+(n+1)}$[/tex]
e poi comincio a fare operazioni come se fra i due termini ci sia una disuguaglianza (anzi, se a te non piace lo spazio puoi metterci un simbolo qualunque, ad esempio un [tex]$\sharp$[/tex]):
(b) [tex]$(2^n+1)(3^{n+1}+(n+1)) \qquad (2^{n+1}+1)(3^n+n)$[/tex] (minimo comune multiplo e semplificazione del denominatore comune)
(c) [tex]$3\ 6^n+ 3\ 3^n +(n+1)2^n +(n+1) \qquad 2\ 6^n +3^n+2n\ 2^n +n$[/tex] (un po' di prodotti)
(d) [tex]$4\ 6^n +2\ 3^n +1 \qquad (n-1) 2^n$[/tex] (un po' di semplificazioni e di raggruppamenti "strategici").
A questo punto noto che la successione a primo membro è infinita per [tex]$n\to +\infty$[/tex] d'ordine superiore rispetto a quella al secondo membro, quindi sono sicuro che a partire da un certo indice [tex]$\nu$[/tex] in poi trovo:
(d') [tex]$4\ 6^n +2\ 3^n +1 > (n-1) 2^n$[/tex]
e da questa disuguaglianza "risalgo i passaggi", riportando le disuguaglianze nei passaggi precedenti (facendo ben attenzione se da qualche parte la disuguaglianza va invertita per aver moltiplicato per un numero negativo -ma non è questo il caso-):
(c') [tex]$3\ 6^n+ 3\ 3^n +(n+1)2^n +(n+1) > 2\ 6^n +3^n+2n\ 2^n +n$[/tex]
(b') [tex]$(2^n+1)(3^{n+1}+(n+1)) > (2^{n+1}+1)(3^n+n)$[/tex]
ed infine ho:
(a') [tex]$\frac{2^n+1}{3^n+n} > \frac{2^{n+1}+1}{3^{n+1}+(n+1)}$[/tex]
sempre per [tex]$n\geq \nu$[/tex].
Quindi ho stabilito che la successione assegnata è definitivamente strettamente decrescente.
Per la monotonia, di solito io faccio così: prendo [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] e scrivo fianco a fianco i termini [tex]$n$[/tex]-esimo ed [tex]$n+1$[/tex]-esimo della successione separati da uno spazio:
(a) [tex]$\frac{2^n+1}{3^n+n} \qquad \frac{2^{n+1}+1}{3^{n+1}+(n+1)}$[/tex]
e poi comincio a fare operazioni come se fra i due termini ci sia una disuguaglianza (anzi, se a te non piace lo spazio puoi metterci un simbolo qualunque, ad esempio un [tex]$\sharp$[/tex]):
(b) [tex]$(2^n+1)(3^{n+1}+(n+1)) \qquad (2^{n+1}+1)(3^n+n)$[/tex] (minimo comune multiplo e semplificazione del denominatore comune)
(c) [tex]$3\ 6^n+ 3\ 3^n +(n+1)2^n +(n+1) \qquad 2\ 6^n +3^n+2n\ 2^n +n$[/tex] (un po' di prodotti)
(d) [tex]$4\ 6^n +2\ 3^n +1 \qquad (n-1) 2^n$[/tex] (un po' di semplificazioni e di raggruppamenti "strategici").
A questo punto noto che la successione a primo membro è infinita per [tex]$n\to +\infty$[/tex] d'ordine superiore rispetto a quella al secondo membro, quindi sono sicuro che a partire da un certo indice [tex]$\nu$[/tex] in poi trovo:
(d') [tex]$4\ 6^n +2\ 3^n +1 > (n-1) 2^n$[/tex]
e da questa disuguaglianza "risalgo i passaggi", riportando le disuguaglianze nei passaggi precedenti (facendo ben attenzione se da qualche parte la disuguaglianza va invertita per aver moltiplicato per un numero negativo -ma non è questo il caso-):
(c') [tex]$3\ 6^n+ 3\ 3^n +(n+1)2^n +(n+1) > 2\ 6^n +3^n+2n\ 2^n +n$[/tex]
(b') [tex]$(2^n+1)(3^{n+1}+(n+1)) > (2^{n+1}+1)(3^n+n)$[/tex]
ed infine ho:
(a') [tex]$\frac{2^n+1}{3^n+n} > \frac{2^{n+1}+1}{3^{n+1}+(n+1)}$[/tex]
sempre per [tex]$n\geq \nu$[/tex].
Quindi ho stabilito che la successione assegnata è definitivamente strettamente decrescente.
"clever":
Per induzione non ho mai provato, con le derivate sembra più 'veloce'.
Tipo se ho questa serie:
$((2^n)+1)/((3^n)+n)$
Posso affermare che è a termini positivi e che diverge positivamente?
Senza che io faccia le derivate.
Quali passaggi hai fatto per dire che $((2^n)+1)/((3^n)+n)$ diverge positivamente? (non sto dicendo che è sbagliato o giusto...)
Io ho provato a fare cosi:
$((2^n)/((3^n)+n))+1/((3^n)+n)$
la seconda va a $0$
la prima $((2^n)/((3^n)+n))$
la riscrivo come: $1/((3/2)^n)+n/2^n$
$(3/2)^n$ diverge, e quindi tutto diverge?
Ma per il criterio di Leibniz, dato che gugo ha dimostrato che essa è decrescente, mi vien da dire che questa successione è convergente.
$((2^n)/((3^n)+n))+1/((3^n)+n)$
la seconda va a $0$
la prima $((2^n)/((3^n)+n))$
la riscrivo come: $1/((3/2)^n)+n/2^n$
$(3/2)^n$ diverge, e quindi tutto diverge?
Ma per il criterio di Leibniz, dato che gugo ha dimostrato che essa è decrescente, mi vien da dire che questa successione è convergente.
"clever":
la prima $((2^n)/((3^n)+n))$
la riscrivo come: $1/((3/2)^n)+n/2^n$
Al massimo la puoi riscrivere come $1/((3/2)^n+n/2^n)$ che è ben diverso da ciò che hai scritto tu!!
@Gugo: Bella questa!!! 
Oh! Ho riscritto male sul forum
Si, misanino è come hai scritto tu.
Il ragionamento va bene?
Si, misanino è come hai scritto tu.
Il ragionamento va bene?
"dissonance":
@Gugo: Bella questa!!!
Azzie.
Ma pensavo fosse una tecnica abbastanza comune...
"clever":
Oh! Ho riscritto male sul forum
Si, misanino è come hai scritto tu.
Il ragionamento va bene?
No che non va bene.
Tu dici che hai la serie di temine generale $1/((3/2)^n+2^n/n)$ e quindi, dato che $1/(3/2)^n$ diverge, il tutto diverge.
Questo è sbagliato!
C'è infatti anche un termine $1/(2^n/n)$ da controllare.
Ad esempio se hai $1/(n+n^2)$ tu diresti che $1/n$ diverge e quindi il tutto diverge.
In realtà però $1/n^2$ converge e quindi $1/(n+n^2)<1/n^2$ che converge e quindi il tutto converge!
Capito.
Come devo studiare il carattere di $1/((2^n)/(n))$?
Come devo studiare il carattere di $1/((2^n)/(n))$?
Vuoi applicare quindi il criterio di Leibniz e devi mostrare che $(2^n+1)/(3^n+n)$ tende a 0
Come hai fatto tu spezzo in 2 e ho:
$(2^n+1)/(3^n+n)=(2^n)/(3^n+n)+1/(3^n+n)$
Il secondo pezzo tende a 0 ed è a posto.
Il primo pezzo è $(2^n)/(3^n+n)<(2^n)/(3^n)=(2/3)^n$ che tende a 0 per n che tende a infinito poichè $2/3<1$.
Perciò il tutto tende a 0 e quindi puoi applicare Leibniz
Come hai fatto tu spezzo in 2 e ho:
$(2^n+1)/(3^n+n)=(2^n)/(3^n+n)+1/(3^n+n)$
Il secondo pezzo tende a 0 ed è a posto.
Il primo pezzo è $(2^n)/(3^n+n)<(2^n)/(3^n)=(2/3)^n$ che tende a 0 per n che tende a infinito poichè $2/3<1$.
Perciò il tutto tende a 0 e quindi puoi applicare Leibniz
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