Domanda di teoria: il resto di una serie.
Sto studiando la teoria, capitolo: le serie numeriche.
Teorema: se una serie $a_k$ è convergente, ancke $R_n$ ovvero il resto della serie, è convergente, tende a $0$ ed è infinitesimo.
La cosa che io vi chiedo è: qual è l'esempio più semplice per dimostrare questo teorema?
Teorema: se una serie $a_k$ è convergente, ancke $R_n$ ovvero il resto della serie, è convergente, tende a $0$ ed è infinitesimo.
La cosa che io vi chiedo è: qual è l'esempio più semplice per dimostrare questo teorema?
Risposte
$R_n=sum^{+oo}a_k-sum^n a_k$ giusto?
Allora per mostrare che $R_n->0$ prova a pensare che $sum^{+oo}a_k <+oo $ è il limite di una successione monotona crescente, quindi dato $\epsilon >0$ esiste $N$ per cui $AA n>N$ si ha che $sum^{+oo}a_k-sum^n a_k<\epsilon$...
trovi?
edit: mi sono dimenticato di scrivere che ti ho messo un caso per cui $a_k>0 , AA k$ (o $a_k<0$
comunque la logica non dista miglia...
Allora per mostrare che $R_n->0$ prova a pensare che $sum^{+oo}a_k <+oo $ è il limite di una successione monotona crescente, quindi dato $\epsilon >0$ esiste $N$ per cui $AA n>N$ si ha che $sum^{+oo}a_k-sum^n a_k<\epsilon$...
trovi?
edit: mi sono dimenticato di scrivere che ti ho messo un caso per cui $a_k>0 , AA k$ (o $a_k<0$
comunque la logica non dista miglia...
"fu^2":
$R_n=sum^{+oo}a_k-sum^n a_k$ giusto?
Poiché $\sum_{k=1}^n a_k$ tende a $\sum_{k=1}^{+oo}a_k$ (la serie è convergente!), la differenza tende a zero: lo puoi vedere come caso molto particolare del teorema sulla somma (algebrica...) dei limiti. O come conseguenza diretta della def di limite per una successione.
La strada proposta da fu^2 è ok, ma prevede di avere una serie "a temini di segno costante", restrizione non necessaria.
Sul libro ho la dimostrazione
che mi dice alla fine che:
$R_n=s-s_(n-1)sim0$
infatti tu dici di prendere una successione monotona crescente, quindi che tende a $+oo$
Io volevo, un esempio pratico, non so, una successione, che visivamente mi facesse vedere questo resto della serie.
Negli esercizi poi, mai ho visto la richiesta di questo 'resto della serie', a che servirà? E' pura definizione teorica?
(scusate le mie domande banali)
che mi dice alla fine che:
$R_n=s-s_(n-1)sim0$
infatti tu dici di prendere una successione monotona crescente, quindi che tende a $+oo$
Io volevo, un esempio pratico, non so, una successione, che visivamente mi facesse vedere questo resto della serie.
Negli esercizi poi, mai ho visto la richiesta di questo 'resto della serie', a che servirà? E' pura definizione teorica?
(scusate le mie domande banali)
"clever":
infatti tu dici di prendere una successione monotona crescente, quindi che tende a $+oo$
aaarrgghhhhhh
$\ \ arctg (n)$...Quanto all'esempio, puoi farlo tu. Prendi la serie geometrica di ragione 1/2 e vedi cosa succede.
"clever":
infatti tu dici di prendere una successione monotona crescente, quindi che tende a $+oo$
una successione monotona crescente non tende a $+oo$
prendi ad esempio $(arctg(n))_n$
prendi la serie $\sum 1/(n(n-1))$ che è facile scrivere il termine $m$-esimo oppure prendi una geometrica che i calcoli sono ancora più semplici, con questi esempi seppur casi di serie a termini a segno costante è facile scrivere il resto e vedere come va a zero.
Oppure prendi $sum (-1)^n/n$ se vuoi segni oscillanti
edit:
vedo che mi hanno preceduto.... e pergiunta coi miei stessi esempi!! che scarsa fantasia
comunque il saper descrivere il resto di una serie è importante quando devi quantizzare quanto sei lontano dal risultato vero, per esempio in analisi numerica dove il computer deve calcolarti a meno di un errore fissato la serie in un tempo finito...
se questa ha un resto che decade velocemente allora riesci a calcolarla, se il resto va lentamente a zero allora puoi dire "numericamente non converge".
$arctg(n)simpi/2$ per $x->+oo$
$1/n(n-1)$ è la serie di Mengoli, telescopica, convergente.
$((-1)^n)/n$ dipende da $n$ se è pari o dispari, è una serie alternata , e il limite non è definito.
Quindi il resto è più una questione teorica che ti fa capire quanto sei lontano dal risultato vero: ovvero una volta calcolata la serie
c'è un errore di una percentuale precisa, e questo errore è il resto?
io l'unica cosa che ho capito 'meccanicamente' è che se la serie è convergente anche il suo presunto resto sarà convergente.
$1/n(n-1)$ è la serie di Mengoli, telescopica, convergente.
$((-1)^n)/n$ dipende da $n$ se è pari o dispari, è una serie alternata , e il limite non è definito.
Quindi il resto è più una questione teorica che ti fa capire quanto sei lontano dal risultato vero: ovvero una volta calcolata la serie
c'è un errore di una percentuale precisa, e questo errore è il resto?
io l'unica cosa che ho capito 'meccanicamente' è che se la serie è convergente anche il suo presunto resto sarà convergente.
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