Domanda di teoria: area di $y=x^2$
Sul libro c'è questa 'formula':
Area di $y=x^2$
$(1/n^3)*sum i^2=((n-1)*n*(2n-1))/(6n^3)$
la sommatoria va da $i=0$ a $n-1$
alla fine si fa il limite $n->+oo$ del termine a_n, e viene $1/3$ che è l'area.
Ma davvero non capisco come sia uscito $((n-1)*n*(2n-1))/(6n^3)$
come si arriva a scrivere quella formula?
Grazie
Area di $y=x^2$
$(1/n^3)*sum i^2=((n-1)*n*(2n-1))/(6n^3)$
la sommatoria va da $i=0$ a $n-1$
alla fine si fa il limite $n->+oo$ del termine a_n, e viene $1/3$ che è l'area.
Ma davvero non capisco come sia uscito $((n-1)*n*(2n-1))/(6n^3)$
come si arriva a scrivere quella formula?
Grazie
Risposte
ma in relazione all'area di $y=x^2$, magari se riporti proprio l'esercizio o la proposizione è meglio, perchè mi sembra strano, in quanto non si specifica nemmeno gli estremi dove si vuole calcolare l'area
Si scrivo tutto:
c'è il grafico con la funzione $y=x^2$
$[0,1]$ si divide l'intervallo in $n$ segmenti.
$x_i=i/n$ (estremo iniziale) $x_(i+1)=(i+1)/n$
$i->0$ allora $n-1$
Area=$S_n=sum (1/n)*(i/n)^2$
$=(1/n^3)*sum i^2=((n-1)*n*(2n-1))/(6n^3)$
la sommatoria va da $i=1$ a $n-1$
quest'ultimo passaggio non viene spiegato
c'è il grafico con la funzione $y=x^2$
$[0,1]$ si divide l'intervallo in $n$ segmenti.
$x_i=i/n$ (estremo iniziale) $x_(i+1)=(i+1)/n$
$i->0$ allora $n-1$
Area=$S_n=sum (1/n)*(i/n)^2$
$=(1/n^3)*sum i^2=((n-1)*n*(2n-1))/(6n^3)$
la sommatoria va da $i=1$ a $n-1$
quest'ultimo passaggio non viene spiegato
Dalla costruzione teoria dell'integrale definito (quale elemento separatore di due insieme contigui), si segue questo ragionamento. Evidentemente il libro così ha fatto. Ma mi domando se tu conosci la teoria dell'integrazione secondo Riemann 
No, ma ho appena cominciato di 'studiare' la teoria, capitolo: gli integrali come limite di somme.
Infatti nella definizione dice 'si costruisce la somma secondo Cauchy-Riemann, intendi questo?
Infatti nella definizione dice 'si costruisce la somma secondo Cauchy-Riemann, intendi questo?
si, fino alla costruzione dell'integrale definito
Voglio vederci chiaro:
una successione di Cauchy-Riemann:
$S_n=sum f(epsilon)*(b-a)/(n)$
somma secondo Cauchy-Riemann:
$S_n=((b-a)/(n))*sumf(epsilon)$
e alla fine si da la definizione di integrale definito, ovvero
data una $y=f(x)$ limitata in $[a,b]$ e continua (se è possibile), l'integrale definito su tale intervallo è la definizione dell'area
del trapezoide individuato dalla curva $f(x)$ (ma non vale il viceversa)
Giusto?
una successione di Cauchy-Riemann:
$S_n=sum f(epsilon)*(b-a)/(n)$
somma secondo Cauchy-Riemann:
$S_n=((b-a)/(n))*sumf(epsilon)$
e alla fine si da la definizione di integrale definito, ovvero
data una $y=f(x)$ limitata in $[a,b]$ e continua (se è possibile), l'integrale definito su tale intervallo è la definizione dell'area
del trapezoide individuato dalla curva $f(x)$ (ma non vale il viceversa)
Giusto?
Si è la parte di piano compresa tra il grafico della funzione e il semiasse positivo delle x (supposto sempre che la tua funzione stia nel 1 quadrante)
Invece se dico ''calcolo integrale'' altro non è che la ricerca di una primitiva detta anche antiderivata, di una funzione.
Sto cercando di studiare per bene queste sottigliezze, perchè dire calcolo integrale, e integrale definito di una funzione, sono due
cose distinte.
Sto cercando di studiare per bene queste sottigliezze, perchè dire calcolo integrale, e integrale definito di una funzione, sono due
cose distinte.
Beh il calcolo integrale è quel ramo dell'analisi matematica che studia i teoremi e le proprietà delle funzioni integrabili, quindi: primitive, area di una funzione ecc...
Quindi ad una fatidica domanda ''cosa è il calcolo integrale?'' dovrei rispondere come hai detto tu?
Perchè allora sul libro è scritto:
''calcolo integrale'' = ricerca di una primitiva detta anche antiderivata, di una funzione.
Perchè allora sul libro è scritto:
''calcolo integrale'' = ricerca di una primitiva detta anche antiderivata, di una funzione.
Scusa, clever, ma che libro usi?
(Tra parentesi, "area di [tex]$y=x^2$[/tex]" non significa nulla.)
(Tra parentesi, "area di [tex]$y=x^2$[/tex]" non significa nulla.)
Ecco son stato superficiale.
'Area compresa tra l'asse $x$ e l'arco di parabola $y=x^2$'
Il testo che uso è:
Analisi matematica 1 - Zanichelli autore Marco Bramanti
'Area compresa tra l'asse $x$ e l'arco di parabola $y=x^2$'
Il testo che uso è:
Analisi matematica 1 - Zanichelli autore Marco Bramanti
Ah, io pensavo che era il Manuale di Analisi I per l'università di Paperopoli... 
No, seriamente, mi pare davvero riduttivo che un libro presenti il Calcolo Integrale come la "ricerca di una primitiva detta anche antiderivata, di una funzione".
Un po' come dire che il Calcolo Differenziale è la determinazione della derivata; o che l'Analisi Armonica è il calcolo delle serie di Fourier; etc...
Spero vivamente non si tratti di una citazione testuale, che pare davvero fuori luogo anche in un libro semplificatissimo per i nuovi corsi di laurea.
No, seriamente, mi pare davvero riduttivo che un libro presenti il Calcolo Integrale come la "ricerca di una primitiva detta anche antiderivata, di una funzione".
Un po' come dire che il Calcolo Differenziale è la determinazione della derivata; o che l'Analisi Armonica è il calcolo delle serie di Fourier; etc...
Spero vivamente non si tratti di una citazione testuale, che pare davvero fuori luogo anche in un libro semplificatissimo per i nuovi corsi di laurea.
quoto in pieno, anche perchè è un libro che ho usato e non mi pare ci siano definizioni del genere...
Riporto la citazione del libro (qui davvero bisogna analizzare parola per parola)
L'integrale viene inteso opportunamente come limite di somme.
Il Teorema fondamentale del calcolo integrale di Leibniz e Newton, riconduce ad un esercizio di routine: la ricerca di una primitiva
detta anche antiderivata di una funzione.
Altra cosa che appunto, credo che sia meglio che non apri un topic solo per questo, dice questo dopo 'la dimostrazione'
dell'area tra l'asse $x$ e l'arco di parabola $y=x^2$, dice:
La definizione di integrale che daremo segue questi stessi passi:
Sia $f:[a,b]$ in $RR$ limitata. Notiamo 'esplicitamente' che $f$ potrebbe non essere continua; ad ogni modo, almeno per il
momento, assumiamo che sia almeno definita in ogni punto di $[a,b]$ e limitata.
Mia domanda:
*Perchè dice --Notiamo 'esplicitamente' che $f$ potrebbe non essere continua--?
L'integrale viene inteso opportunamente come limite di somme.
Il Teorema fondamentale del calcolo integrale di Leibniz e Newton, riconduce ad un esercizio di routine: la ricerca di una primitiva
detta anche antiderivata di una funzione.
Altra cosa che appunto, credo che sia meglio che non apri un topic solo per questo, dice questo dopo 'la dimostrazione'
dell'area tra l'asse $x$ e l'arco di parabola $y=x^2$, dice:
La definizione di integrale che daremo segue questi stessi passi:
Sia $f:[a,b]$ in $RR$ limitata. Notiamo 'esplicitamente' che $f$ potrebbe non essere continua; ad ogni modo, almeno per il
momento, assumiamo che sia almeno definita in ogni punto di $[a,b]$ e limitata.
Mia domanda:
*Perchè dice --Notiamo 'esplicitamente' che $f$ potrebbe non essere continua--?
"clever":
Riporto la citazione del libro (qui davvero bisogna analizzare parola per parola)
L'integrale viene inteso opportunamente come limite di somme.
Il Teorema fondamentale del calcolo integrale di Leibniz e Newton, riconduce ad un esercizio di routine: la ricerca di una primitiva
detta anche antiderivata di una funzione.
Ah, ecco...
Mettiamo in chiaro una cosa: non siamo noi a voler analizzare parola per parola, a puntualizzare inutilmente; sei tu che non analizzi e quindi trai conclusioni sbagliate.
Una cosa è dire che "il Calcolo Integrale consiste nella determinazione delle primitive", altra è dire che "il calcolo di un integrale definito si riconduce, mediante un teorema, alla determinazione di una primitiva".
"clever":
Altra cosa che appunto, credo che sia meglio che non apra un topic solo per questo, dice questo dopo 'la dimostrazione'
dell'area tra l'asse $x$ e l'arco di parabola $y=x^2$, dice:
La definizione di integrale che daremo segue questi stessi passi:
Sia $f:[a,b]$ in $RR$ limitata. Notiamo 'esplicitamente' che $f$ potrebbe non essere continua; ad ogni modo, almeno per il
momento, assumiamo che sia almeno definita in ogni punto di $[a,b]$ e limitata.
Mia domanda:
*Perchè dice --Notiamo 'esplicitamente' che $f$ potrebbe non essere continua--?
Perchè, visto che le funzioni continue sui compatti sono limitate, uno è portato ad immaginarsi come oggetto del Calcolo Integrale solo funzioni continue.
Ad esempio, se io ti chiedessi di dire una funzione [tex]$C^1$[/tex], tu diresti quasi di getto [tex]$f(x):=x$[/tex], oppure [tex]$f(x):=e^x$[/tex], oppure [tex]$f(x):=\sin x$[/tex]... Tuttavia queste sono casi particolarissimi di funzione [tex]$C^1$[/tex], giacché esse sono di classe [tex]$C^\infty$[/tex] (ed addirittura [tex]$C^\omega$[/tex]).
È molto poco probabile che tu risponda con una funzione [tex]$C^1$[/tex] che non sia più regolare, tipo:
[tex]$f(x):=\begin{cases} x^2 &\text{, se $x\geq 0$} \\ -x^2 &\text{, se $x\leq 0$}\end{cases}$[/tex]
Quello che voglio dire è che i testi di base devono sopperire alla mancanza d'immaginazione (dovuta alla mancanza di esperienza) del lettore, il quale cerca sempre di immaginarsi funzioni molto regolari, facendo delle osservazioni simili.
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