Domanda di analisi superiore

[amel3]

So che la domanda non è facile (o lo è?), ma provo a farvela lo stesso...
Sia $Omega$ aperto in $RR^N$ e sia K compatto contenuto in $Omega$. Allora esiste una funzione $gamma$ di classe $C^oo$ su $RR^N$ a supporto compatto tale che:
$chi_K<=gamma<=chi_Omega$ (per $chi_E$ intendo la funzione caratteristica di un insieme E, cioè la funzione definita su $RR^N$ che è 1 sull'insieme E e 0 fuori da E)

Come fare per dimostrare questo risultato? L'unica cosa a cui arrivo sinora è che $gamma$ dovrà essere 1 su K e 0 su $RR^N$ \ $Omega$. E poi?
Grazie a chi mi risponderà. Ciao!

[Sk_Anonymous]

EDIT: dimentica quel che ho scritto, non ho letto granché bene, temo.

[irenze]

La dimostrazione è costruttiva.
Sia $\rho$ un mollificatore di Friedrichs $C^\infty$ a supporto compatto (ad esempio $\rho(x)=ce^{1/(1-|x|^2)}$ per $|x|\le 1$, dove $c$ è una costante di normalizzazione, $\rho(x)=0$ altrimenti... non mi dilungo ulteriormente perché immagino che se fai una domanda del genere dovresti conoscere i mollificatori).
Per $\epsilon>0$, sia $\rho_\epsilon(x)=1/(\epsilon^N)\rho(x/\epsilon)$.
Considera ora $0<\epsilon<1/4 dist(K,\partial\Omega)$ e prendi la funzione $\phi=\rho_\epsilon$*$\chi_K$. $\phi$ è $C^\infty$ perché "scarichi le derivate su $\rho_\epsilon$" e supp$\phi\subset\subset\Omega$ (ha distanza $\ge \epsilon$ da $\partial\Omega$).

[Sk_Anonymous]

Io però non lo so: cos'è un mollificatore di Friedrichs di classe C^k a supporto compatto?

[irenze]

È una funzione $C^\k(RR^N)$ che abbia supporto compatto (di solito in una palla) e integrata su tutto $RR^N$ dia 1 (per questo la costante di normalizzazione). I mollificatori si utlizzano per regolarizzare arbitrariamente le funzioni (utilizzando la convoluzione e l'integrazione per parti) e inoltre hanno la proprietà che se $u\in C^m(\Omega)$ ($0\le m

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[amel3]

Sì è vero avevo intuito che si utilizzavano sempre i mollificatori...
Ti ringrazio moltissimo, complimenti!
Una sola cosa non ho capito, ma così $phi$ rimane compresa tra 0 e 1, com'è in sostanza richiesto dalle ipotesi?

[irenze]

Si certo, basta scrivere esplicitamente l'integrale di convoluzione, ricordando che l'integrale di $\rho_n$ è 1 su $\RR^N$ (in qualche modo stai solo "espandendo" la funzione caratteristica).
Hai: $0\le (\rho_n$*$\chi_K)(x)\le\int_\Omega|\rho(y)\chi_K(x-y)|dy\le\int_\Omega|\rho(y)|dy=1$.

[amel3]

Sì lo so sono un autentico deficiente, ma pur riguardandola, non riesco a capire la prima disuguaglianza, è che io avevo pensato:
- $phi$ è 0 fuori da K e siamo a posto;
- $phi$ è $\rho_\epsilon$ dentro K, ma allora per maggiorare $chi_K$ deve essere almeno 1, ma neppure meno di 1 perchè deve essere maggiorata da $chi_Omega$, ma allora $rho_epsilon$ è esattamente 1 in tutto K? Dov'è che sbaglio?

[irenze]

No, $\phi$ è 0 fuori da un compatto che contiene propriamente $K$, per la precisione fuori da $K\cup(\cup_{x\in\partial K}\overline{B_\epsilon(x))}$, che per le ipotesi su $\epsilon$ è contenuto compattamente in $K$.

[amel3]

Senti, ma mi è venuto un colpo! Tu intendevi il puntino come la convoluzione, vero? Anzi mi sa proprio di sì, sono un vero idiota, chissà perchè pensavo fosse un per...
Se e così direi che sostanzialmente sono accordo e ci ripenserò sulle tue sagge parole...
Visto che non mi puoi picchiare per la mia pesantezza posso approfittare per chiederti un'altra cosa?
Faccio una fatica immane a trovare questa roba sui testi, ma ne esiste uno che abbia scritto tutto questo?

[irenze]

Molto riassunto... sulle dispense del mio prof: http://www.mat.uniroma1.it/people/troianiello/PDE.pdf
Sennò sull'Evans... c'è quasi tutto.

P.S. Scusa, io avevo scritto un asterisco, mi è venuto fuori un puntino... adesso provo a modificarlo.

[amel3]

OK, grazie mille dell'aiuto! Ciao!