Domanda di Analisi sulla convergenza di una successione

[Asimov1]

Salve a tutti. Volevo chiedervi se il seguente enunciato è corretto e se sì magari se sapete una dimostrazione. Se no potete dirmi in cosa è sbagliato?

L'enunciato è il seguente:

sia a_n una successione di numeri reali.

Se OGNI SOTTOSUCCESSIONE CONVERGENTE converge ad un certo C (lo stesso per tutte le sottosuccessioni) appartenente ai reali allora l'INTERA SUCCESSIONE converge a C


Grazie mille a tutti coloro che mi aiuteranno... è veramente importante.

[irenze]

Prendi una successione senza sottosuccessioni convergenti (ogni sottosuccessione convergente di a_n - cioè nessuna - converge a C, ma a_n non converge), oppure una tipo:
a_n=n se n è pari (divergente!!!)
a_n=1 se n è dispari
Tutte le sottosuccessioni convergenti di a_n convergono a 1, ma a_n non converge a 1.

[irenze]

Se invece prendi una successione limitata, hai ragione: l'ipotesi che hai scritto equivale a dire che
liminf a_n=limsup a_n=C
da cui segue immediatamente
lim a_n=C

[irenze]

Provo a scrivertelo meglio:
Sia a_n una successione limitata. Se ogni sottosuccessione convergente di {a_n} converge a un certo C reale, allora tutta la successione {a_n} converge a C.

Dim.
Per assurdo {a_n} non converge a C.
Allora esiste una sottosuccessione {a_n_k} di {a_n} e un numero epsilon_0>0 tale che per ogni k si ha |a_n_k-C|>epsilon_0. Ma {a_n_k} è limitata, dunque per il teorema di Bolzano-Weierstrass essa ammette una sottosuccessione convergente {a_n_k_h} (che è sottosuccessione di {a_n}), e per ipotesi essa converge a C, assurdo.

[ottusangolo]

Salve Asimov!
Quanto dice irenze non mi convince del tutto.
Il discorso credo sia molto semplice:
{a_n} converge ad L se e solo se ogni sua sottosuccessione è convergente ( ad L, ma non è
strettamente necessario specificarlo)
{a_n} diverge (ha cioè limite +/- infinito) se e solo se ogni sua sottos. diverge.
Dim
Sia {a_n} convergente ad L ovvero dato un intorno qualsiasi di L (e si può scegliere quanto piccolo si vuole)
tutti gli a_n , tranne al più un numero finito, cadono in suddetto intorno
ma allora anche tutti gli a_k(n), tranne al più un numero finito, cadono in esso, ove gli a_k(n)
sono gli elementi di una qualsivoglia successione estratta da {a_n}.Dunque {a_k(n)} converge ad L
Se vuoi ragionare con epsilon ecc. Basta osservare che per come si costruisce una sottos.
k(n)>=n e quindi procedere naturalmente.
Viceversa è banale visto che tra le sottosuccessioni vi è {a_n} stessa.
O se preferisci una sott. del tipo b_k=a_2k per k=1,2...100 e b_k=a_(k+100) per k>100.
Oppure anche ragionando sul max e min limite.

[Asimov1]

"irenze":Provo a scrivertelo meglio:
Sia a_n una successione limitata. Se ogni sottosuccessione convergente di {a_n} converge a un certo C reale, allora tutta la successione {a_n} converge a C.

Dim.
Per assurdo {a_n} non converge a C.
Allora esiste una sottosuccessione {a_n_k} di {a_n} e un numero epsilon_0>0 tale che per ogni k si ha |a_n_k-C|>epsilon_0. Ma {a_n_k} è limitata, dunque per il teorema di Bolzano-Weierstrass essa ammette una sottosuccessione convergente {a_n_k_h} (che è sottosuccessione di {a_n}), e per ipotesi essa converge a C, assurdo.

Irenze ma l'assurdo consiste nel fatto che io ho {a_n_k_h} che converge a C ma per ogni k si ha |a_n_k-C|>epsilon_0 ?

Ringrazio tutti

[irenze]

Esattamente (a_n_k_h è una sottosuccessione di a_n_k e quindi dovrebbe verificare |a_n_k_h-C|>epsilon>0 per ogni h). Scusa, sono andata un po' veloce.

@ottusangolo: Perché non ti convince? Quello che ho scritto dovrebbe essere giusto.
Comunque quello che tu hai scritto è giusto, ma non basta.
Asimov chiedeva che ogni sottosuccessione CONVERGENTE (e quindi a priori non ogni sottosuccessione, anzi! Nel caso illimitato potrebbe non essercene nessuna!) convergesse a un certo C.

[ottusangolo]

Ciao, Irenze!
Quanto ho scritto non solo mi sembra esatto ma anche bastante visto che è di più di quanto
richiedeva Asimov.
Ho infatti dim.
che una succ.{a(n)} converge ad L [oppure diverge +/-inf] se e solo se
ogni sua sottosuccessione converge (ad L), [diverge]
avendo omesso per brevità il caso in cui diverge (ma il ragionamento è lo stesso).
Asimov mi pare richiedesse solo la seconda implicazione che è banale (vedi seconda parte dim.)
Il tuo ragionamento non mi convince perchè essendo un po' ottuso (non a caso ho scelto
questo nick,che non c'entra con la nota trasmissione televisiva se non per il fatto che era ancora più ottusa di me) preferisco le dim più semplici possibili e rigorose.
Nello specifico, riporto commentando tra [ ] quanto hai scritto:
Dim.
Per assurdo {a_n} non converge a C.[mentre per hp. ogni {a_n_k} conv. a C ]
Allora esiste una sottosuccessione {a_n_k} di {a_n} e un numero epsilon_0>0 tale che per ogni k si ha |a_n_k-C|>epsilon_0.[ Vuoi dire che esiste una sottos. che non converge a C;quanto hai scritto non è però a rigore la negazione della conv. a C, è comunque vero ma non lo dimostri e credo se lo facessi basterebbe fermarsi qui,avresti già la dim cercata.] Ma {a_n_k} è limitata[o.k per hp. ma perchè imporre una restrizione non necessaria?Il teor si dim
anche per succ. divergenti quindi non limitate]
, dunque per il teorema di Bolzano-Weierstrass essa ammette una sottosuccessione convergente {a_n_k_h} (che è sottosuccessione di {a_n}), e per ipotesi essa converge a C, assurdo. [ o.k. ci siamo ma un po' tortuoso il ragionamento e poi l'assurdo è così evidente?
perchè se lo è mi sembra altrettanto evidente dimostrare direttamente il teor.][/quote]

Infine se ti piace ragionare per assurdo (anche a me, ma non sempre) allora perchè non fare il seguente ragionamento:
Sia ogni sott. {a_n_k} di {a_n} convergente a C ma {a_n} non converga a C
( e non ci frega che sia limitata o che converga ad un altro limite o che non abbia limite)
Consideriamo la sottos. che da un certo n_k in poi coincide con a_n ed i precedenti scelti come ti pare.Sicuramente non può convergere a C ma essendo comunque una sott. per hp
deve convergere a C (vi convergono tutte).Assurdo, quindi in realtà a_n converge a C. STOP.
Ciao! <!-- s:) --><img src="/datas/uploads/forum/emoji/icon_smile.gif" alt=":)" title="Smile" /><!-- s:) --> 

[Thomas16]

Posso... ? così vedo se riesco a capire qualcosa...

"ottusangolo":Ciao, Irenze!
Quanto ho scritto non solo mi sembra esatto ma anche bastante visto che è di più di quanto
richiedeva Asimov.
Ho infatti dim.
che una succ.{a(n)} converge ad L [oppure diverge +/-inf] se e solo se
ogni sua sottosuccessione converge (ad L), [diverge]

ma hai dimostrato che se ogni se ogni sottosuccessione convergente converge A C, allora converge la successione??? non credo... (anche perchè senza limitatezza non è vero)

tu hai dimsotratto che se TUTTE le sottosuccessioni convergono, allora converge a C, il che ha delle ipotesi più forti sulle sottosuccessioni... a priori potrebbero convergere alcune sottosuccessioni ma non tutte...

"ottusangolo":

Per assurdo {a_n} non converge a C.[mentre per hp. ogni {a_n_k} conv. a C ]
Allora esiste una sottosuccessione {a_n_k} di {a_n} e un numero epsilon_0>0 tale che per ogni k si ha |a_n_k-C|>epsilon_0.[ Vuoi dire che esiste una sottos. che non converge a C;quanto hai scritto non è però a rigore la negazione della conv. a C, è comunque vero ma non lo dimos tri e credo se lo facessi basterebbe fermarsi qui,avresti già la dim cercata.]

Quella è esattamente la negazione... se non converge a C, vuol dire che per esiste un intorno di C per il quale la successione stà frequentemente fuori... Irenze ha tradotto questo in epsilon e delta...

"ottusangolo":

Ma {a_n_k} è limitata[o.k per hp. ma perchè imporre una restrizione non necessaria?Il teor si dim
anche per succ. divergenti quindi non limitate]

l'ipotesi della limitatezza serve perchè le ipotesi sulle sottosuccessioni scelte da Irenze sono pià deboli delle tue, quindi ci vuole qualcosa che le rafforzi... Irenze ha mostrato con un esempio come il fatto che i valori della successione siano non limitati porta a degli esempi assurdi...

"ottusangolo":

, dunque per il teorema di Bolzano-Weierstrass essa ammette una sottosuccessione convergente {a_n_k_h} (che è sottosuccessione di {a_n}), e per ipotesi essa converge a C, assurdo. [ o.k. ci siamo ma un po' tortuoso il ragionamento e poi l'assurdo è così evidente?
perchè se lo è mi sembra altrettanto evidente dimostrare direttamente il teor.]

l'assurdo è questo: si è trovata una sottosuccessione che è distante da C (stà fuori da un intorno di C), ma è convergente... tutte le sottosuccessioni convergente per ipotesi convergono a C, ma questa non può farlo perchè è sempre lontana da C...

Ciao... spero di essere stato utile...

[Thomas16]

Cmq secondo me è più probabile che Asimov abbia sbagliato a scrivere il testo... brava Irenze a correggerlo

[irenze]

Grazie.

[ottusangolo]

Ciao Irenze!
Ma certo UN BRAVA te lo meriti ( anzi due considerato il nick,che mi ricorda
una bella città italiana che amo molto.)
E grazie a Thomas che mi ha fatto notare ( è quasi un eufemismo!)
che Irenze voleva dimostrare (ma, diciamo pure ha dimostrato!) qualcosa
di diverso.Purtroppo spesso rispondo mentre sto facendo altro,quando capita
una pausa e con una connessione che può cadere in qualsiasi momento.
Quindi ho preso davvero fischi per fiaschi!
Però proprio ubriaco non ero! La tua dim continua a non piacermi molto.
PRIMO: la negazione di per ogni eps. Esist. un m: per ogni n>m |a(n)-L| non mi sembra che sia ( nonostante l'approvazione di thomas)
Esist. un eps. : per ogni n>m |a(n)-L|>eps.
ma piuttosto
Esist. un eps>0 : per ogni m Esist un n>m : |a(n)-L|>eps.
Altrimenti come giustificare che {a(n)} ove a(n)=1/n per n pari, a(n)=1 per n dispari
non converge ad L=1 ?
SECONDO :va bene ,ma non si capisce bene il come e il perchè prendi la prima sott.da cui poi estrarre a sua volta un'altra succ.

Giusto per aiutare Asimov (se già non si è aiutato da solo) mi pare più chiara messa così:

dim: PER ASSURDO sia {a(n)} NON convergente ad L allora esisterà un intorno di L
(di raggio eps.) al di fuori del quale cadono infiniti a(n); tra questi estraiamo una succ.
convergente ( che esiste per Weierstrass ).Per costruzione questa non può convergere ad L
ma per hp. ogni sott. convergente converge ad L.
Ciao!

P.S Caro Thomas non ci riesci proprio a darmi perfettamente ragione (e va bene ho solo una perfettamane ragione) ma data l'ora a cui sono costretto a scrivere non pretendiamo troppo!
Ed ora facciamo ammenda:
errata corr. (riga 10 e 11, circa, onde prevenire altre contestazioni)
PRIMO leggasi PREMESSA
(NONOSTANTE L'APPROVAZIONE DI THOMAS) leggasi( SE QUALCUNO AVESSE FRAINTESO,
COME IL SOTTOSCRITTO, CHE THOMAS INTENDESSE CRITICARE LA NEGAZIONE CUI SI RIFERIVA OTTUSANGOLO).

[Thomas16]

continuo a fare l'avvocato del diavolo... ... poi mi fate vedere mia sorella?? (scusate la battuta... se qualcuno ha visto il film vuol dire che è abbastanza "tarato" per apprezzarla)...

"ottusangolo":
Però proprio ubriaco non ero! La tua dim continua a non piacermi molto.
PRIMO: la negazione di per ogni eps. Esist. un m: per ogni n>m |a(n)-L| non mi sembra che sia ( nonostante l'approvazione di thomas)
Esist. un eps. : per ogni n>m |a(n)-L|>eps.
ma piuttosto
Esist. un eps>0 : per ogni m Esist un n>m : |a(n)-L|>eps.
[\quote]

Hai perfettemane ragione, infatti Irenze ha scritto:

---------
Allora esiste una sottosuccessione {a_n_k} di {a_n} e un numero epsilon_0>0 tale che per ogni k si ha |a_n_k-C|>epsilon_0
---------

C'è quel k che cambia le cose nell'ultima diseguaglianza... La sottosuccessione non è presa da un certo punto in poi ma scegliendo uno per uno i valori che hanno distanza maggiore di quell'epsilon la cui esistenza è provata dalla negazione della convergenza... il fatto che si possano scegliere infiniti punti di questo tipo è conseguenza proprio della disuguaglianza che hai scritto tu!

[quote="ottusangolo"]

SECONDO :va bene ,ma non si capisce bene il come e il perchè prendi la prima sott.da cui poi estrarre a sua volta un'altra succ.

la risposta è sopra!

"ottusangolo":
dim: PER ASSURDO sia {a(n)} NON convergente ad L allora esisterà un intorno di L
(di raggio eps.) al di fuori del quale cadono infiniti a(n); tra questi estraiamo una succ.
convergente ( che esiste per Weierstrass ).Per costruzione questa non può convergere ad L
ma per hp. ogni sott. convergente converge ad L.
Ciao!

[/quote]

ma questa è proprio la dimostrazione di Irenze........!!!!!!!!!!!!!! Non cambia una virgola!!!!!!!!!!!!!

[ottusangolo]

[quote=Thomas]continuo a fare l'avvocato del diavolo... ... poi mi fate vedere mia sorella?? (scusate la battuta... se qualcuno ha visto il film vuol dire che è abbastanza "tarato" per apprezzarla)...
E perchè del diavolo ? Irenze non è forse un' angelica fanciulla?
(Tanto che se mi perdona sono pronto a riconoscere che la sua dim. non solo mi piace ma
che è più chiara ed elegante della forma da me suggerita.)
Per quanto riguarda il film poi, nego di averlo visto,e se anche lo avessi visto nego assolutamente
di apprezzare la battuta!

And now farewell, adieu!

[Thomas16]

non hai capito la battuta...

se non hai visto il film come potresti?

prego comunque

saluti

[irenze]

Wow... tutti che mi fanno i complimenti... se va avanti così finirò per diventare tutta rossa!!!