Domanda di analisi per algebra.
Sono un po' in difficoltà nel capire in quale sezione pubblicare questa domanda, perché se l'esercizio è di algebra, il problema è su una questione che credo centri maggiormente in analisi.
Dimostrare che l'area del triangolo di vertici \( (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) \) è data per:
\[\frac{1}{2} \begin{vmatrix} \det \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3 \\
1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{vmatrix}\]
Soluzione:
L'area del triangolo di cui sopra vale 1/2 dell'area del parallegoramma generato dai vettori \( (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \) e \( (x_3 - x_1, y_3 - y_1) \) . E l'area di questo parallelogramma vale
\[ \begin{vmatrix} \det \begin{pmatrix} x_2 -x_1 & x_3 - x_1 \\
y_1 - y_2 & y_3 -y_1
\end{pmatrix} \end{vmatrix}:= \begin{vmatrix} \det A \end{vmatrix} \]
In effetti, il parallelogramma generato dai vettori \( (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \) e \( (x_3 - x_1, y_3 - y_1) \) è l'immagine di \( [0,1]^2 \) dentro la trasformazione lineare \( T \) data da \( T(x)=Ax \) e sappiamo che:
\[ \int_{T([0,1]^2)}x dx = \det (T) \int_{[0,1]^2} x dx = \det (A) \]
Allora calcoliamo
\[ \begin{vmatrix} \det \begin{pmatrix} x_2 -x_1 & x_3 - x_1 \\
y_1 - y_2 & y_3 -y_1
\end{pmatrix} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} (x_1y_2 - x_2y_1) - (x_1y_3 - x_3y_1) + (x_2y_3 - x_3y_2)\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \det \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3 \\
1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{vmatrix}\]
Le mie domande:
1) Perché \[ \int_{T([0,1]^2)}x dx = \det (T) \int_{[0,1]^2} x dx \] ? Non capisco da dove salta fuori il determinante di T
2) Non dovrebbe essere semmai \[ \det (T) \int_{[0,1]^2} x dx = \frac{1}{2} \det (A) \], in quanto \( \det T = \det A \) ??
Dimostrare che l'area del triangolo di vertici \( (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) \) è data per:
\[\frac{1}{2} \begin{vmatrix} \det \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3 \\
1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{vmatrix}\]
Soluzione:
L'area del triangolo di cui sopra vale 1/2 dell'area del parallegoramma generato dai vettori \( (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \) e \( (x_3 - x_1, y_3 - y_1) \) . E l'area di questo parallelogramma vale
\[ \begin{vmatrix} \det \begin{pmatrix} x_2 -x_1 & x_3 - x_1 \\
y_1 - y_2 & y_3 -y_1
\end{pmatrix} \end{vmatrix}:= \begin{vmatrix} \det A \end{vmatrix} \]
In effetti, il parallelogramma generato dai vettori \( (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \) e \( (x_3 - x_1, y_3 - y_1) \) è l'immagine di \( [0,1]^2 \) dentro la trasformazione lineare \( T \) data da \( T(x)=Ax \) e sappiamo che:
\[ \int_{T([0,1]^2)}x dx = \det (T) \int_{[0,1]^2} x dx = \det (A) \]
Allora calcoliamo
\[ \begin{vmatrix} \det \begin{pmatrix} x_2 -x_1 & x_3 - x_1 \\
y_1 - y_2 & y_3 -y_1
\end{pmatrix} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} (x_1y_2 - x_2y_1) - (x_1y_3 - x_3y_1) + (x_2y_3 - x_3y_2)\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \det \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3 \\
1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{vmatrix}\]
Le mie domande:
1) Perché \[ \int_{T([0,1]^2)}x dx = \det (T) \int_{[0,1]^2} x dx \] ? Non capisco da dove salta fuori il determinante di T
2) Non dovrebbe essere semmai \[ \det (T) \int_{[0,1]^2} x dx = \frac{1}{2} \det (A) \], in quanto \( \det T = \det A \) ??
Risposte
Quella formula con l'integrale è sicuramente sbagliata; chi è \(x\) in \(xdx\)? La formula corretta è
\[
\int_{T[0,1]^2}\, dx = \det T \int_{[0, 1]^2}\, dy, \]
e si ottiene con il cambio di variabile
\[
x=Ty.\]
\[
\int_{T[0,1]^2}\, dx = \det T \int_{[0, 1]^2}\, dy, \]
e si ottiene con il cambio di variabile
\[
x=Ty.\]
"dissonance":
Quella formula con l'integrale è sicuramente sbagliata; chi è \(x\) in \(xdx\)? La formula corretta è
\[
\int_{T[0,1]^2}\, dx = \det T \int_{[0, 1]^2}\, dy, \]
e si ottiene con il cambio di variabile
\[
x=Ty.\]
Non avendo ancora visto niente del genere, ho cercato di interpretarla con i mezzi che possiedo, la soluzione proposta sopra è quella del professore nei corrigé.
Qui la mia interpretazione:
La trasformazione lineare \( T \) trasforma il quadrato di vertici \( (0,0) \), \( (0,1) \), \( (1,1) \) e \( (1,0) \) nel parallelogramma la cui area è il doppio del triangolo di cui devo calcolare l'area, dunque la funzione \( f(x)=x \) passando da \( (0,0) \) e da \( (1,1) \) forma un triangolo (che chiamo B) con \( (1,0) \), \( T \) trasforma B nel triangolo di cui devo calcolarmi l'area. Pertanto l'area di B applicata alla trasformazione \( T \) dovrebbe darmi l'area dell'altro triangolo.
Dunque \[ \int_{T[0,1]^2} x\ dx = \det T \int_{[0,1]^2} x \ dx = \frac{1}{2} \det T \]
E siccome il determinante di un applicazione lineare è il determinante della matrice associata allora quell'integrale è \( \frac{1}{2} \det A \) ovvero è l'area del triangolo B applicata alla trasformazione \( T \) che mi da l'area del triangolo ricercato. Il passaggio finale dimostra che \( \det A \) è uguale al determinante iniziale.
Quindi credo possa funzionare anche in questo modo, no? (Aggiungendo 1/2 al risultato dell integrale)
Ma quello che non capisco è il motivo per cui appare un \( \det T \).
Supponi di voler calcolare con un integrale la lunghezza del segmento \((a, b)\), la lunghezza sarà \(\displaystyle \int_a^b\,dx \) e non \(\displaystyle \int_a^bx\,dx \). Se preferisci puoi vedere la prima come \(\displaystyle \int_a^b 1\,dx \) ovvero l'integrale della funzione \(1\colon x \mapsto 1\). Ma se non conosci la teoria degli integrali doppi allora ha poco senso usare quella spiegazione con te. Si poteva verosimilmente dimostrare in modo più elementare o usando l'integrale direttamente.
Cambiamento di variabili negli integrali.
Il $"d" x = |det T| "d" y$ prende, nel caso multidimensionale, il posto di $"d"x = phi^\prime (y) "d" y$ presente nel caso monodimensionale.
Il $"d" x = |det T| "d" y$ prende, nel caso multidimensionale, il posto di $"d"x = phi^\prime (y) "d" y$ presente nel caso monodimensionale.
"3m0o":
Non avendo ancora visto niente del genere, ho cercato di interpretarla con i mezzi che possiedo, la soluzione proposta sopra è quella del professore nei corrigé.
Quello che voglio dire è che il corrigé è sicuramente sbagliato per un motivo molto semplice: la scrittura \(x\,dx\) è priva di senso perché qui \(x\in\mathbb R^2\). Il risultato dell'integrale \(\int_{[0, 1]^2} x\,dx\) sarebbe quindi un vettore, ma dal contesto si capisce che deve essere uno scalare. Sembra proprio un errore di battitura.
"dissonance":[/quote]
[quote="3m0o"]
Il risultato dell'integrale \(\int_{[0, 1]^2} x\,dx\) sarebbe quindi un vettore.
Perché? Se $x\cdot dx$ lo si vede come prodotto scalare (unica interpretazione sensata, direi), il risultato è uno scalare.
(Sul resto - formula di cambiamento di variabili nell'integrale doppio - siam perfettamente d'accordo).
Ciao
Ma no Plepp, quello è un integrale di area. Quindi ci vuole un elemento di area; qui \(dx\) sta per \(dx_1dx_2\).
Quindi, come dici tu, $x text{d}x$ è un vettore in effetti! Chiedo venia...
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