Domanda di Analisi
Per favore, ditemi se il seguente procedimento per individuare gli estremi assoluti e relativi di una funzione del tipo $f(x,y)=z$, da $RR^2$ in $RR$, è corretto.
1) calcolare il gradiente della funzione;
2) trovare, se esistono, i vettori $(x_0,y_0)$ in cui il gradiente si annulla;
3) calcolare la matrice Hessiana;
4) applicare il test delle derivate seconde.
Studiare gli eventuali vettori in cui il gradiente non esiste. Purtroppo, se il test del punto 4) non funziona, tocca fare a mano.
Per gli estremi inferiori e superiori si procede con restrizioni se la funzione va all'infinito, altrimenti con maggiorazioni.
1) calcolare il gradiente della funzione;
2) trovare, se esistono, i vettori $(x_0,y_0)$ in cui il gradiente si annulla;
3) calcolare la matrice Hessiana;
4) applicare il test delle derivate seconde.
Studiare gli eventuali vettori in cui il gradiente non esiste. Purtroppo, se il test del punto 4) non funziona, tocca fare a mano.
Per gli estremi inferiori e superiori si procede con restrizioni se la funzione va all'infinito, altrimenti con maggiorazioni.
Risposte
Più o meno è completo.
"Luca.Lussardi":
Più o meno è completo.
Cosa manca?
Nulla di sostanziale, solo alcuni punti sembrano semplici ad una prima lettura ma potrebbero essere più articolati.
Sì, certo. Sono stato stringato, altrimenti avrei fatto prima a pubblicare il libro su cui sto studiando 
Ecco un altro problema (di un altro genere).
Si consideri la funzione $f: E->RR$ definita da
$f(x,y)=(log(1+y^3)-x^2-y^2)/(x^2+y^2)$
Trovare il dominio $E$: dire se è aperto, chiuso, limitato, connesso, convesso.
Si prolunghi per continuità la funzione $f$ in tutti i punti in cui è possibile, ottenedo una nuova funzione $f^*:E'->RR$. Descrivere come fatto in precedenza l'insieme $E'$.
Si calcoli, se esiste, il gradiente di $f^*$ in $(0,0)$. Dire se la funzione è differenziabile in questo punto.
Nel piano cartesiano il dominio $E$ è rappresentato da tutti i punti che stanno "sopra" la retta di equazione $y=1$ (retta esclusa) meno l'origine: tale insieme è chiuso e connesso, ma non convesso, aperto e limitato.
Ricordando la definizione di continuità, si vede abbastanza facilmente che la funzione è prolungabile soltanto in $(0,0)$. Il nuovo dominio $E'$ è chiuso, connesso e convesso, ma non aperto e limitato.
Per la parte rimanente non saprei come procedere. Potreste dirmi se quello che ho detto è corretto e darmi qualche suggerimento?
Ecco un altro problema (di un altro genere).
Si consideri la funzione $f: E->RR$ definita da
$f(x,y)=(log(1+y^3)-x^2-y^2)/(x^2+y^2)$
Trovare il dominio $E$: dire se è aperto, chiuso, limitato, connesso, convesso.
Si prolunghi per continuità la funzione $f$ in tutti i punti in cui è possibile, ottenedo una nuova funzione $f^*:E'->RR$. Descrivere come fatto in precedenza l'insieme $E'$.
Si calcoli, se esiste, il gradiente di $f^*$ in $(0,0)$. Dire se la funzione è differenziabile in questo punto.
Nel piano cartesiano il dominio $E$ è rappresentato da tutti i punti che stanno "sopra" la retta di equazione $y=1$ (retta esclusa) meno l'origine: tale insieme è chiuso e connesso, ma non convesso, aperto e limitato.
Ricordando la definizione di continuità, si vede abbastanza facilmente che la funzione è prolungabile soltanto in $(0,0)$. Il nuovo dominio $E'$ è chiuso, connesso e convesso, ma non aperto e limitato.
Per la parte rimanente non saprei come procedere. Potreste dirmi se quello che ho detto è corretto e darmi qualche suggerimento?
Forse volevi scrivere $y=-1$.... rivedi anche la chiusura di $E$.
Sì, certo volevo dire $y=-1$.
$E$ è aperto, perchè ogni suo punto è interno (questo vale anche per $E'$). Dopo questo orrore, farei bene a ritirarmi. Qualche suggerimento per l'ultima parte dell'esercizio?
$E$ è aperto, perchè ogni suo punto è interno (questo vale anche per $E'$). Dopo questo orrore, farei bene a ritirarmi. Qualche suggerimento per l'ultima parte dell'esercizio?
Sì, la funzione si prolunga a $(0,0)$ dove vale $-1$ e non sulla retta $y=-1$; il dominio resta aperto però, convesso e illimitato.
Quanto al gradiente calcola le due derivate parziali con la definizione, poi verifichi se esse soddisfano la definizione di differenziale in $(0,0)$.
Quanto al gradiente calcola le due derivate parziali con la definizione, poi verifichi se esse soddisfano la definizione di differenziale in $(0,0)$.
Siccome sto muovendo oggi i primi passi nel calcolo differenziale a più variabili, potresti postarmi i calcoli da fare? La definizione di derivata parziale la so, ma non riesco a vedere come applicarla in questo contesto.
Devi calcolare il limite per $h \to 0$ del rapporto $(f'(h,0)+1)/h$, dove $+1$ sta per $-f'(0,0)$. Una cosa analoga risulta per la derivata parziale rispetto ad $y$. Quel rapporto incrementale mi pare che faccia costantemente $0$...
Quindi il gradiente di $f(0,0)$ sarebbe zero, e pertanto la funzione sarebbe differenziabile in tale punto. E' questo il ragionamento da seguire?
Anzitutto se fai $\lim_{h \to 0}(f(0,h)+1)/h$ ti viene $1$ per cui la derivata parziale rispetto ad $y$ in $(0,0)$ vale 1; dunque il gradiente congetturato in $(0,0)$ vale $(0,1)$. Per verificare poi se $f'$ è effettivamente differenziabile in $(0,0)$ deve andare a $0$ il rapporto $(f(x,y)+1-y)/(\sqrt{x^2+y^2})$ per $|(x,y)| \to 0$; se passi a coordinate polari vedi subito che tale limite non esiste.
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