Domanda concettuale rotazioni
Buonasera, avrei una domanda più concettuale che altro:
in 2 e 3 dimensioni le matrici ortogonali rappresentano delle isometrie, e in particolare delle rotazioni. Capisco come le matrici vengono costruite, ma la mia domanda è: data una matrice ortogonale qualunque, cosa posso trarre dalla matrice stessa, riguardo alla rotazione che rappresenta?
Spero di essermi spiegato bene.
Grazie
in 2 e 3 dimensioni le matrici ortogonali rappresentano delle isometrie, e in particolare delle rotazioni. Capisco come le matrici vengono costruite, ma la mia domanda è: data una matrice ortogonale qualunque, cosa posso trarre dalla matrice stessa, riguardo alla rotazione che rappresenta?
Spero di essermi spiegato bene.
Grazie
Risposte
E' una domanda un po' vaga: cosa vorresti trarre? Le matrici ortogonali non rappresentano solo delle rotazioni, quelle sono le ortogonali speciali. Ci sono anche quelle di determinante $-1$.
In dimensione 3 esiste sempre un asse di rotazione (l'autospazio dell'autovalore $1$) e l'ortogonale a tale asse è un piano, su cui avviene una rotazione.
In dimensione 3 esiste sempre un asse di rotazione (l'autospazio dell'autovalore $1$) e l'ortogonale a tale asse è un piano, su cui avviene una rotazione.
In due dimensioni le matrici di rotazione sono fatte così:
\[A=\begin{bmatrix}
\cos\theta& -\sin\theta\\
\sin\theta& \cos\theta
\end{bmatrix}\qquad \theta \in [0,2\pi)\]
$A$ rappresenta (rispetto alla base canonica di $RR^2$) la rotazione di un angolo $\theta$ (in senso antiorario). Così, ad esempio, la matrice
\[
\begin{bmatrix}
0& -1\\
1& 0
\end{bmatrix}
\]
rappresenta una rotazione di $45°$.
EDIT. Aggiungo: osserva che, tra le altre cose, killing_buddha ti sta dicendo che le rotazioni tridimensionali possono sempre rappresentarsi (rispetto a una certa base di $RR^3$[nota]Precisamente, la base costituita dai vettori
\[A=\begin{bmatrix}
\cos\theta& -\sin\theta\\
\sin\theta& \cos\theta
\end{bmatrix}\qquad \theta \in [0,2\pi)\]
$A$ rappresenta (rispetto alla base canonica di $RR^2$) la rotazione di un angolo $\theta$ (in senso antiorario). Così, ad esempio, la matrice
\[
\begin{bmatrix}
0& -1\\
1& 0
\end{bmatrix}
\]
rappresenta una rotazione di $45°$.
EDIT. Aggiungo: osserva che, tra le altre cose, killing_buddha ti sta dicendo che le rotazioni tridimensionali possono sempre rappresentarsi (rispetto a una certa base di $RR^3$[nota]Precisamente, la base costituita dai vettori
[*:1d87y19b] $e_1$ un vettore parallelo all'asse della rotazione;[/*:m:1d87y19b]
[*:1d87y19b] $e_2,e_3$ due vettori ortogonali che generano il piano della rotazione (dunque entrambi ortogonali a $e_1$).[/*:m:1d87y19b][/list:u:1d87y19b][/nota]) con una matrice fatta così:
\[A=\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&\cos\theta& -\sin\theta\\
0&\sin\theta& \cos\theta
\end{bmatrix}\qquad \theta \in [0,2\pi)\]
Avete entrambi pienamente ragione, non sono stato preciso. Innanzitutto avrei dovuto specificare in effetti che mi riferivo alle ortogonali speciali, e poi sì, capisco come funzionano le rotazioni e come si ricavano le matrici "canoniche" di rotazione in 2 e 3 dimensioni.
Però ad esempio:
Perfetto. Partendo dalla matrice, come mi rendo conto che si tratta di una rotazione di 45°?
Oppure, alternativamente, data la matrice ortogonale speciale
$1/3 [ ( 1 , 2 , 2 ),( 2 , 1 , -2 ),( -2 , 2 , -1 ) ] $
come posso studiare la rotazione rappresentata? Ad esempio, come trovo l'angolo, o come determino quale sia l'asse di rotazione? Banalmente, come "la leggo"?
Grazie a entrambi per la pazienza
Però ad esempio:
"Plepp":
Così, ad esempio, la matrice
\[
\begin{bmatrix}
0& -1\\
1& 0
\end{bmatrix}
\]
rappresenta una rotazione di $45°$.
Perfetto. Partendo dalla matrice, come mi rendo conto che si tratta di una rotazione di 45°?
Oppure, alternativamente, data la matrice ortogonale speciale
$1/3 [ ( 1 , 2 , 2 ),( 2 , 1 , -2 ),( -2 , 2 , -1 ) ] $
come posso studiare la rotazione rappresentata? Ad esempio, come trovo l'angolo, o come determino quale sia l'asse di rotazione? Banalmente, come "la leggo"?
Grazie a entrambi per la pazienza
"Plepp":
Così, ad esempio, la matrice
\[
\begin{bmatrix}
0& -1\\
1& 0
\end{bmatrix}
\]
rappresenta una rotazione di $45°$.
Il coseno di $\frac{\pi}{4}$ è zero secondo te?
Riguardo a "come la leggi": classifichi l'endomorfismo come fai sempre, ne trovi autovalori (sono tutti di modulo 1, e uno è proprio 1), e autovettori, tenendo a mente quel che ti ho detto: l'autospazio \(\langle v \rangle\) di 1 è esattamente l'asse di una rotazione che avviene su \(\langle v\rangle^\perp\).
"dissonance":
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=180567
Grazie mille, ha aiutato parecchio.
Quindi, vediamo se ho capito: riguardo la matrice che ho scritto, gli autovalori sono
$lambda_1=1$
$lambda_(2,3)=1/3(-1+-2isqrt2)$
E quindi siccome l'autospazio relativo a $lambda_1$ è $ [x, x, 0]^T$, questo è anche l'asse di rotazione, che avviene sul piano ad esso perpendicolare.
Usando la formula del post linkato da dissonance: $tr(M)=1+2cosphi -> cosphi=(1/3-1)/2 -> phi=70,5°$
Invece la matrice $ [ ( 0 , -1 ),( 1 , 0 ) ] $, con lo stesso ragionamento identifica una rotazione di
$cosphi=-1/2 -> phi=2/3pi$
Torna?
Ancora grazie
Come si ottiene la formula $"tr"A =1+2\cos\phi$?
Anche a me lascia perplesso: le formule di Viete dicono che per una matrice 2x2 di rotazione si ha \(\text{tr}(A) = 2\cos\theta\) se $\theta$ è l'angolo di rotazione.
@kb : tu parli della dimensione 2. In dimensione 3 devi aggiungere 1, perché hai sempre l'autovalore 1.
La sezione "in three dimensions" sembra scritta bene :
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix
La sezione "in three dimensions" sembra scritta bene :
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix
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