Domanda concettuale_norma in $L^2$

[ludwigZero]

Salve.
Ho un piccolo dubbio riguardo un esercizio di calcolo di norma.

Ho una funzione $f(x)=cos(\pi n)$ con $|x| \leq 1/2$ e $0$ altrove.
Devo calcolare i coefficienti di fourier nella base ${1/sqrt(2), sin (n pi x), cos( n pi nx)}$ in $L^2(-1,1)$ e calcolare appunto la norma $L^2(-1,1)$ con i coefficienti di Fourier.

ho due domande:

1) dato che quella base trigonometrica è in $L^2(0,1)$, come base in $L^2(-a,a)$ posso prendere ${1/sqrt(2a),cos( n/a pi x)}$ con $a =1/2$ (nel mio caso la funzione è PARI)

2) come mai prima mi chiede di calcolare i coefficienti in $-1/2 \leq x \leq 1/2$ e poi una norma
in $L^2(-1,1)$ ?


grazie

[gugo82]

Non capisco il dubbio...

Ti viene chiesto di sviluppare la funzione:
\[
f(x) := \begin{cases} \cos (n\pi\ x) &-1/2 \leq x\leq 1/2\\
0 &\text{, altrove}
\end{cases}
\]
in serie di Fourier in \(L^2(-1,1)\) (qui immagino che \(n\in \mathbb{N}\) e che \(x\) te la sia dimenticata nella trascrizione precedente).
Ognuna di tali \(f\) è in \(L^2(-1,1)\) (perché è addirittura limitata) ed ha un grafico del genere:
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("cos(15.708*x)",-0.5,0.5); line([-1,0],[-0.5,0]); line([0.5,0],[1,0]);[/asvg]
per \(n\) dispari e di quest'altro tipo:
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("cos(18.85*x)",-0.5,0.5); line([-1,0],[-0.5,0]); line([0.5,0],[1,0]);[/asvg]
per \(n\) pari.
Quindi i coefficienti da calcolare sono rispetto alla base trigonometrica di \(L^2(-1,1)\).

[ludwigZero]

la funzione è:

\[
f(x) := \begin{cases} \cos (\pi\ x) &-1/2 \leq x\leq 1/2\\
0 &\text{, altrove}
\end{cases}
\]

quindi i coefficienti di fourier sono:
$c_o = 1/sqrt(2*1/2) \int_(-1/2)^(1/2) cos(\pi x) dx $

$c_n = \int_(-1/2)^(1/2) cos(\pi x) cos(2 n pi x) dx $

e la norma va calcolata come:

$int_-1^1 |f(x)|^2 dx $

quindi quel $[-1,1]$ di $L^2$ sarebbe dal grafico la ''limitazione'' sull'asse delle y?

[gugo82]

"ludwigZero":la funzione è:

\[ f(x) := \begin{cases} \cos (\pi\ x) &-1/2 \leq x\leq 1/2\\ 0 &\text{, altrove} \end{cases} \]

quindi i coefficienti di fourier sono:
$ c_o = 1/sqrt(2*1/2) \int_(-1/2)^(1/2) cos(\pi x) dx $

$ c_n = \int_(-1/2)^(1/2) cos(\pi x) cos(2 n pi x) dx $

E sono quelli perché in realtà devi calcolare:
\[
c_n= \int_{-1}^1 f(x)\ \cos (2n\pi x)\ \text{d} x
\]
ma la tua \(f\) è nulla in \([-1,-1/2[\) e \(]1/2,1]\), quindi l'integrale si riduce ad un integrale esteso a \([-1/2,1/2]\).

"ludwigZero":e la norma va calcolata come:

$ int_-1^1 |f(x)|^2 dx $

Certo, e con le ovvie modifiche dette sopra ti puoi ridurre ad un integrale esteso a \([-1/2,1/2]\).

"ludwigZero":quindi quel $ [-1,1] $ di $ L^2 $ sarebbe dal grafico la ''limitazione'' sull'asse delle y?

No, che c'entra?
L'intervallo specificato indica il dominio delle funzioni dello spazio.