Domanda banale sui logaritmi

[JLS1]

probabilmente è una domanda molto stupida, ma mi è venuto questo dubbio:
si può SEMPRE dire che: $ ln x <= x $ ?

[Luca.Lussardi]

Un disegno dovrebbe convincerti...

[JLS1]

"Luca.Lussardi":Un disegno dovrebbe convincerti...

ho generato le funzioni con un programma e sono convinto.
è che a mano non sono molto bravo, quindi il dubbio rimaneva...

[Luca.Lussardi]

Puoi anche dimostrarlo in modo rigoroso, vale $\log x < x$ per ogni $x>0$.

[gugo82]

La dimostrazione si può fare in diversi modi.

Uno dei tanti è sfruttare noti risultati di Calcolo Differenziale ed Integrale, come il seguente teorema di confronto:

Siano [tex]$f,g:(a,b)\to \mathbb{R}$[/tex] funzioni derivabili con derivata continua in [tex]$(a,b)$[/tex].
Se:

1. esiste [tex]$x_0\in (a,b)$[/tex] tale che [tex]$f(x_0)\leq g(x_0)$[/tex];

2. per ogni [tex]$x\in (a,b)$[/tex], risulta [tex]$f^\prime (x)\leq g^\prime (x)$[/tex];

allora risulta:

[tex]$f(x)\leq g(x)$[/tex] in [tex]$[x_0,b)$[/tex].

(Questo teorema ti dice che, sotto la condizione 1, una relazione d'ordine tra le derivate si trasmette alle funzioni... Ma ciò non sempre accade se la condizione 1 non è soddisfatta!*)

Per la dimostrazione, prova a vedere cosa succede quando consideri gli integrali di [tex]$f^\prime$[/tex] e [tex]$g^\prime$[/tex] estesi all'intervallo [tex]$[x_0,x]$[/tex], con [tex]$x\in (a,b)$[/tex].


__________
* Ad esempio, si prenda [tex]$(a,b)=[0,\tfrac{\pi}{2}]$[/tex], [tex]$f(x)=2$[/tex] e [tex]$g(x)=\sin x$[/tex]; è evidente che [tex]$f>g$[/tex] in [tex]$(a,b)$[/tex], ma d'altra parte [tex]$f^\prime \leq g^\prime$[/tex] in [tex]$(a,b)$[/tex].