Domanda banale su funzione
ciao a tutti! Premetto che l'esame di analisi l'ho dato, quindi diciamo che il mio dubbio non è ormai più legato in previsione esame, ma per conoscenza personale.
Mi stavo interessando ai grafici delle funzioni oscillanti, e mi chiedo:
perchè nella funzione $f(x)= sin(x)/x$ che in x=0 non dovrebbe essere continua invece sul grafico il libro mi porta che lo è? Poi la funzione effettivamente ho visto che anche se all'infinito non si accosterà proprio all'asse x, nonostante tutto ha l asse x come asintoto orizzontale, perchè? Ho come libro il Bramanti Paganini Salsa..
e poi con le funzioni oscillanti come $sin(x^2)$ il grafico tra $0$ e $2\pi$ studiandolo mi viene effettivamente come quello che porta in figura, però io faccio la supposizione (SBAGLIATA ovviamente
) che la funzione sia periodica con periodo $2\pi$ e che quindi il grafico si ripeta ma effettivamente non è così e leggendo non mi è chiaro il come potrei dedurre che sto sbagliando.. Praticamente le funzione oscillanti non mi sono ben chiare.. con quali strumenti potrei affrontarne lo studio?
Mi stavo interessando ai grafici delle funzioni oscillanti, e mi chiedo:
perchè nella funzione $f(x)= sin(x)/x$ che in x=0 non dovrebbe essere continua invece sul grafico il libro mi porta che lo è? Poi la funzione effettivamente ho visto che anche se all'infinito non si accosterà proprio all'asse x, nonostante tutto ha l asse x come asintoto orizzontale, perchè? Ho come libro il Bramanti Paganini Salsa..
e poi con le funzioni oscillanti come $sin(x^2)$ il grafico tra $0$ e $2\pi$ studiandolo mi viene effettivamente come quello che porta in figura, però io faccio la supposizione (SBAGLIATA ovviamente
) che la funzione sia periodica con periodo $2\pi$ e che quindi il grafico si ripeta ma effettivamente non è così e leggendo non mi è chiaro il come potrei dedurre che sto sbagliando.. Praticamente le funzione oscillanti non mi sono ben chiare.. con quali strumenti potrei affrontarne lo studio?
Risposte
Riguardo alla continuità della prima funzione, in effetti 0 è valore escluso dal dominio. Tuttavia, sia il limite da sx sia quello da dx della funzione per $x \to 0$ danno $1$, dunque la discontinuità è eliminabile.
Se imponi che la funzione in $x=0$ abbia come valore 1, ottieni una funzione continua su tutto $RR$.
Con il teorema del confronto (spesso usato quando sono presenti seni e coseni per calcolare alcuni limiti ai bordi del dominio) si vede che all'infinito la funzione tende a 0.
L'ultima funzione invece non è periodica.
Se lo fosse, esisterebbe una costante $k$ tale che $sin(x^2) = sin((x+k)^2)$. Se fai un po' di conti viene fuori che $k$ dipende da $x$, dunque non è una costante.
Paola
Se imponi che la funzione in $x=0$ abbia come valore 1, ottieni una funzione continua su tutto $RR$.
Con il teorema del confronto (spesso usato quando sono presenti seni e coseni per calcolare alcuni limiti ai bordi del dominio) si vede che all'infinito la funzione tende a 0.
L'ultima funzione invece non è periodica.
Se lo fosse, esisterebbe una costante $k$ tale che $sin(x^2) = sin((x+k)^2)$. Se fai un po' di conti viene fuori che $k$ dipende da $x$, dunque non è una costante.
Paola
Grazie mille Paola, molto chiara 
devo dire che nel corso le funzioni oscillanti le abbiamo un pò trascurate e mi è dispiaciuto perchè le trovo molto interessanti 
devo dire che nel corso le funzioni oscillanti le abbiamo un pò trascurate e mi è dispiaciuto perchè le trovo molto interessanti
Allora in una prima fase è giusto dire che la funzione $ f(x)=sin(x)/x $ non è continua in $x=0$; tuttavia, poichè il limite $ \lim_{x \to 0} sin(x)/x=1 $, ossia il limite della funzione esiste ed è finito, la funzione in questione è prolungabile per continuità in $x=0$.
Quindi in generale si può dire che se una funzione $f(x)$ non è definito in $x_0$, ma il limite $ \lim_{x \to x_0}f(x)=l $ esiste finito, la funzione $f(x)$ può essere prolungata per continuità anche in $x_0$ ok?
Questo problema, lo puoi analizzare anche in termini di derivata. Infatti esiste un teorema che dice: "Se la funzione $f: X \rightarrow Y$ è derivabile in un punto $ x_0 in X $, essa è anche continua in $x_0$".
Quindi in generale si può dire che se una funzione $f(x)$ non è definito in $x_0$, ma il limite $ \lim_{x \to x_0}f(x)=l $ esiste finito, la funzione $f(x)$ può essere prolungata per continuità anche in $x_0$ ok?
Questo problema, lo puoi analizzare anche in termini di derivata. Infatti esiste un teorema che dice: "Se la funzione $f: X \rightarrow Y$ è derivabile in un punto $ x_0 in X $, essa è anche continua in $x_0$".
si il teorema lo conosco grazie è che non sapevo che potevamo eliminare in automatico il punto di discontinutà essendo di terza specie (pensavo che avrei dovuto specificare qualcosa)..
è che non sapevo che potevamo eliminare in automatico il punto di discontinutà essendo di terza specie (pensavo che avrei dovuto specificare qualcosa)..
"djyoyo":
ciao a tutti! Premetto che l'esame di analisi l'ho dato, quindi diciamo che il mio dubbio non è ormai più legato in previsione esame, ma per conoscenza personale.
Mi stavo interessando ai grafici delle funzioni oscillanti, e mi chiedo:
perchè nella funzione $f(x)= sin(x)/x$ che in x=0 non dovrebbe essere continua invece sul grafico il libro mi porta che lo è? Poi la funzione effettivamente ho visto che anche se all'infinito non si accosterà proprio all'asse x, nonostante tutto ha l asse x come asintoto orizzontale, perchè? Ho come libro il Bramanti Paganini Salsa..
e poi con le funzioni oscillanti come $sin(x^2)$ il grafico tra $0$ e $2\pi$ studiandolo mi viene effettivamente come quello che porta in figura, però io faccio la supposizione (SBAGLIATA ovviamente
Diciamo che la funzione $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$ (definita da QUESTA espressione) non ha un valore per $x=0$ (i suo dominio sono le $x\ne0$) quindi non
e' continua in zero (una funzione puo' essere continua solo nei punti del suo dominio).
PERO' esiste il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a zero (il limite si puo' fare nei punti di accumulazione del dominio e zero e' di accumulazione per $RR\setminus {0}$) e tale limite
fa uno. Allora la (nuova) funzione $f^\star$ definita da $f^\star(x)=f(x)$ se $x\ne0$ e $f^\star(0)=1$ risulta continua (come e' facile verificare.)
Di solito questa $f^\star$ viene chiamata anche lei $f$ con un "abuso di linguaggio" (espressione tipica ...)
EDIT siamo in tanti a quest'ora ....
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