Domanda

[crs1]

scusate per il non latex

se ho questa funzione

f:[a+infinito[+R continua in [a,+infinito[ derivabile in ]a,+infinito[ ;esiste lim_x->+ infinito di f(x)=e €R ;f(a)=l

la domanda è se
esiste c€]a+inifnito[:f'(c)=0

[ViciousGoblin]

Non ho capito se l'ipotesi sui limiti è che siano eguali:
$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)\in RR$

Se è così, imitando la dimostrazione di Rolle(più o meno), dimostri che
$f$ ha un massimo o un minimo maggiore di $a$, da cui la tesi.

Se non è così il risultato chiaramente falso.

[crs1]

ma come faccio a dimostrarlo?

[Sk_Anonymous]

Se è falso basta un controesempio

[ViciousGoblin]

Supponiamo che $\lim_{x\to+\infty}f(x)=f(a)$. Ci sono tre possibiltà
(1) $f(x)=f(a) \forall x\geq a$
(2) esiste $x_o>a$ tale che $f(x_o)>f(a)$
(3) esiste $x_o>a$ tale che $f(x_o)
Nel caso (1) tutte gli x sono punti stazionari. Consideriamo il caso (2). Dato che $f(x)\to f(a)$ per $x\to+\infty$
esiste $\bar x$ tale che $f(x) cioè esiste $x_m\in[a,\bar x]$ tale che $f(x)\leq f(x_m)$ per ogni $x\in[a,\bar x]$; in particolare $f(a) (e dunque $x_m\ne a$). D'altra parte se $x\geq\bar x$ si ha $f(x)\leq f(x_o)\leq f(x_m)$ e quindi $x_m$ è punto di massimo per
$f$ su tutto $[a,+\infty[$. Dato che $a\ne x_m$ se ne ricava $f'(x_m)=0$.
Il caso (3) si fa in modo simile dimostrando l'esistenza del minimo.