Domanda

[Sk_Anonymous]

é giusto affermare che il funzionale associato ad una funzione $f(t)$ è dato da $int_(RR)f(t)*phi(t)dt$,essendo $phi(t)$ funzione di prova?

[Kroldar]

"Ainéias":é giusto affermare che il funzionale associato ad una funzione $f(t)$ è dato da $int_(RR)f(t)*phi(t)dt$,essendo $phi(t)$ funzione di prova?

No, perché quell'integrale (che nel caso di distribuzioni sappiamo esistere finito) è un numero e non un funzionale. Il funzionale semmai è $f$

[Sk_Anonymous]

Ma in questo modo funzionale è funzione sono la stessa cosa!

[Kroldar]

"Ainéias":Ma in questo modo funzionale è funzione sono la stessa cosa!

Veramente $f$ non è una funzione ma una distribuzione... o almeno credo sia così da quello che hai scritto e da altri post.

[irenze]

"Ainéias":é giusto affermare che il funzionale associato ad una funzione $f(t)$ è dato da $int_(RR)f(t)*phi(t)dt$,essendo $phi(t)$ funzione di prova?

Da come scrivi non so se hai capito, il funzionale associato ad $f$ è quella distribuzione (cioè $T_f: D \rightarrow \RR$) che applicata alle funzioni test dà la quantità che hai scritto.

Edit: oddio scusa ho scritto $D'$ invece di $D$!

[cozzataddeo]

"irenze":[quote="Ainéias"]é giusto affermare che il funzionale associato ad una funzione $f(t)$ è dato da $int_(RR)f(t)*phi(t)dt$,essendo $phi(t)$ funzione di prova?

Da come scrivi non so se hai capito, il funzionale associato ad $f$ è quella distribuzione (cioè $T_f: D' \rightarrow \RR$) che applicata alle funzioni test dà la quantità che hai scritto.[/quote]


Il funzionale è una funzione che ha come dominio un insieme di funzioni (dette funzioni di prova) e come insieme di arrivo un insieme numerico (ad esempio $RR$), ovvero è una funzione che agisce su funzioni.
Un sottoinsieme di questi è costituito dai funzionali associati ad una funzione, ovvero quelle funzioni $F$ tali che

$F: A->B$
$phi -> int_(RR)f(t)*phi(t)dt$

dove il simbolo $int_(RR)f(t)*phi(t)dt$ indica il generico valore che il funzionale $F$ assume in corrispondenza della generica funzione di prova $phi$ (in modo analogo a come il simbolo $h(x)$ indica il generico valore che assume la funzione reale $h$ al variare di $x$ nel suo dominio).
Le distribuzioni sono invece un sottoinsieme dei funzionali lineari e non si identificano con i funzionali in genere (oltretutto ci sono distribuzioni che non sono associate a funzioni, ad esempio la delta di Dirac).