Domanda
Cos'è la funzione caratteristica?
Risposte
Supponiamo di avere una variabile aleatoria $x$ caratterizzata da un funzione densità di probabilità $f(x)$, ossia che sia…
$P[x_1
Si definisce funzione caratteristica $phi_x(omega)$ la Trasformata di Fourier di $f(x)$ ossia…
$phi_x (omega)= E[e^(jomegax)]=int_(-oo)^(+oo) f(x)*e^(jomegax)*dx$ (2)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$P[x_1
Si definisce funzione caratteristica $phi_x(omega)$ la Trasformata di Fourier di $f(x)$ ossia…
$phi_x (omega)= E[e^(jomegax)]=int_(-oo)^(+oo) f(x)*e^(jomegax)*dx$ (2)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Credo che ENEA84 si riferisse alla funzione caratteristica di un insieme (se mi sbaglio poco importa, almeno avrà due definizioni). Dato un sottoinsieme $A$ di un insieme $X$ la funzione caratteristica di $A$ è la funzione definita su tutto $X$ che vale $1$ se $x \in A$ e $0$ altrimenti.
Poichè mi accingo a seguire il corso di MATEMATICA APPLICATA a partire da lunedì,sono andato a vedere il programma e mi ha colpito questa "funzione caratteristica" di cui non avevo mai sentito parlare prima.
A questo punto prendo per buone entrambe le definizioni (
ad entrambi) in attesa di iniziare il suddetto corso.
A questo punto prendo per buone entrambe le definizioni (
ad entrambi) in attesa di iniziare il suddetto corso.
Dai qualche altra informazione a riguardo, così sapremo con esattezza di cosa si tratta, anche se dal nome del corso non mi pare di vedere nessuna delle due definizioni date. La def. "di lupo grigio" usa la tr. di Fourier, e la "mia" si dà quasi solo per la teoria dell'integrazione in più variabili.
Cercando tra i compiti d'esame ho trovato:
Si calcoli la trasformata di Fourier di $F(x)=chi_[0,2](x)sen(x)+sen|x|,$
con $chi_[a,b](x)$ la funzione caratteristica relativa all'intervallo $[a,b]$.
Si calcoli la trasformata di Fourier di $F(x)=chi_[0,2](x)sen(x)+sen|x|,$
con $chi_[a,b](x)$ la funzione caratteristica relativa all'intervallo $[a,b]$.
Appunto, allora è la definizione che ho dato io.
Hai ragione tu?
Ma allora la definizione di lupo grigio non mi serve?eppure parlava di tr. di Fourier ,e l'esercizio che ho scritto,che non so ancora fare,diceva di calcolarla!boh
Ma allora la definizione di lupo grigio non mi serve?eppure parlava di tr. di Fourier ,e l'esercizio che ho scritto,che non so ancora fare,diceva di calcolarla!boh
Magari coincidono anche operativamente, però dal testo dell'esercizio che hai postato io vedo molto di più la "mia" definizione rispetto a quella di lupo grigio.
"ENEA84":
Cercando tra i compiti d'esame ho trovato:
Si calcoli la trasformata di Fourier di $F(x)=chi_[0,2](x)sen(x)+sen|x|,$
con $chi_[a,b](x)$ la funzione caratteristica relativa all'intervallo $[a,b]$.
La funzione caratteristica $chi_A$ di un insiene $A$ è una funzione che vale $1$ se $x in A$ altrimenti vale $0$.
Per cui in tal caso si puo dire che
$chi_([0,2])(x)=Pi[(x-1)/2]$ dove $Pi[.]$ è la funzione finestra rettangolare o funzione $rect[.]$
Per cui
$F(x)=Pi[(x-1)/2]sen(x)+sen(x)u(x)-sen(x)u(-x)=Pi[(x-1)/2]sen(x)+senx[u(x)-u(-x)]=Pi[(x-1)/2]sen(x)+sen(x)sign(x)=$
$sen(x)*[Pi[(x-1)/2]+sign(x)]$
Ora sia $x_1(x)=Pi[(x-1)/2]$ ed $x_2(x)=sign(x)$
Allora per me la trasformata di Fourier è $F(omega)=int_{-infty}^{+infty}f(t)e^(-i*omega*t)dt$.
Ora nel nostro caso
$F(omega)=F[x_1(x)sen(x)]+Fx_2(x)sen(x)]=-i*pi(X_1(omega+1)-X_1(omega-1))-i*pi(X_2(omega+1)-X_2(omega-1))$
dove
$X_1(omega)=F[x_1(t)]=2*e^(-i*omega)*((sen(omega))/omega)$ ed $X_2(omega)=F[x_2(t)]=2/(i*omega)$
"nicasamarciano":
[quote="ENEA84"]Cercando tra i compiti d'esame ho trovato:
Si calcoli la trasformata di Fourier di $F(x)=chi_[0,2](x)sen(x)+sen|x|,$
con $chi_[a,b](x)$ la funzione caratteristica relativa all'intervallo $[a,b]$.
La funzione caratteristica $chi_A$ di un insiene $A$ è una funzione che vale $1$ se $x in A$ altrimenti vale $0$.
Per cui in tal caso si puo dire che
$chi_([0,2])(x)=Pi[(x-1)/2]$ dove $Pi[.]$ è la funzione finestra rettangolare
Per cui
$F(x)=Pi[(x-1)/2]sen(x)+sen(x)u(x)-sen(x)u(-x)=Pi[(x-1)/2]sen(x)+senx[u(x)-u(-x)]=Pi[(x-1)/2]sen(x)+sen(x)sign(x)=$
$sen(x)*[Pi[(x-1)/2]+sign(x)]$
Ora sia $x_1(x)=Pi[(x-1)/2]$ ed $x_2(x)=sign(x)$
Allora $F(omega)=F[x_1(x)sen(x)]+Fx_2(x)sen(x)]=(X_1(omega+1)-X_1(omega-1))/(2*i)+(X_2(omega+1)-X_2(omega-1))/(2*i)$
dove $X_1(omega)=F[Pi[(x-1)/2]]=2*e^(i*omega)*sinc(2*omega)$ mentre $X_2(omega)=F[sign(x)]=(2*i)/omega$[/quote]
é lo svolgimento dell'esercizio?Finestra rettangolare
Intendevo dire:"e questo cos'è?lo svolgimento?"
"ENEA84":
Intendevo dire:"è questo cos'è?lo svolgimento?"
Questo è il mio svolgimento riveduto e corretto:
La funzione caratteristica $chi_A$ di un insiene $A$ è una funzione che vale $1$ se $x in A$ altrimenti vale $0$.
Per cui in tal caso si puo dire che
$chi_([0,2])(x)=Pi[(x-1)/2]$ dove $Pi[.]$ è la funzione finestra rettangolare o funzione $rect[.]$
Per cui
$F(x)=Pi[(x-1)/2]sen(x)+sen(x)u(x)-sen(x)u(-x)=Pi[(x-1)/2]sen(x)+senx[u(x)-u(-x)]=Pi[(x-1)/2]sen(x)+sen(x)sign(x)=$
$sen(x)*[Pi[(x-1)/2]+sign(x)]$
Ora sia $x_1(x)=Pi[(x-1)/2]$ ed $x_2(x)=sign(x)$
Allora per me la trasformata di Fourier è $F(omega)=int_{-infty}^{+infty}f(t)e^(-i*omega*t)dt$.
Ora nel nostro caso
$F(omega)=F[x_1(x)sen(x)]+F[x_2(x)sen(x)]=i*pi[X_1(omega+1)-X_1(omega-1)]+i*pi[X_2(omega+1)-X_2(omega-1)]$
dove
$X_1(omega)=F[x_1(t)]=2*e^(-i*omega)*((sen(omega))/omega)$ ed $X_2(omega)=F[x_2(t)]=2/(i*omega)$
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