Divisione tra sviluppi di Mac Laurin
Ho un dubbio su come effettuare la divisione tra sviluppi di Mac Laurin e in particolare su come definire la precisione ( $ o ( ) $ ) del polinomio ottenuto..
In particolare nel mio caso devo effettuare lo sviluppo di $ f(x) = ( x cosh(x) - sinh(x) ) / ( coshx - 1) $ arrestandosi alla precisione $ o (x^3) $ . Ricavare lo sviluppo di Taylor di numeratore e denominatore è immediato, il problema mi si presenta nel momento in cui devo effettuare la divisione tra i polinomi così ottenuti:
_A quale ordine di precisione mi devo arrestare per ottenere nel complesso un polinomio di Mac Laurin alla precisione desiderata?
_Come si comportano gli infinitesimi trascurati al momento della divisione ( voglio dire, in realtà a denominatore sto trascurando infiniti termini che andrebbero a dividere il numeratore: l'o piccolo compare nel polinomio divisore.. )
In particolare nel mio caso devo effettuare lo sviluppo di $ f(x) = ( x cosh(x) - sinh(x) ) / ( coshx - 1) $ arrestandosi alla precisione $ o (x^3) $ . Ricavare lo sviluppo di Taylor di numeratore e denominatore è immediato, il problema mi si presenta nel momento in cui devo effettuare la divisione tra i polinomi così ottenuti:
_A quale ordine di precisione mi devo arrestare per ottenere nel complesso un polinomio di Mac Laurin alla precisione desiderata?
_Come si comportano gli infinitesimi trascurati al momento della divisione ( voglio dire, in realtà a denominatore sto trascurando infiniti termini che andrebbero a dividere il numeratore: l'o piccolo compare nel polinomio divisore.. )
Risposte
Non riesco a capire quale sia il tuo problema!
Sviluppando al denominatore ottieni $ 1/2x^2 + o(x^3) $, mentre al numeratore ottieni $ x+ 1/2x^3 - x - 1/6x^3 + o(x^3) = 1/3x^3 + o(x^3) $.
Quindi il risultato è uno fratto l'altro!
Il problema, se mai, ti si può presentare nel calcolo di alcuni limiti, in cui magari puoi avere il dubbio di dover sviluppare alla stessa precisione sia numeratore che denominatore; in questo caso la risposta, in generale, è no. Ti basta conoscere il termine che "domina" sugli altri, di tutto il resto non ti interessa!
Sviluppando al denominatore ottieni $ 1/2x^2 + o(x^3) $, mentre al numeratore ottieni $ x+ 1/2x^3 - x - 1/6x^3 + o(x^3) = 1/3x^3 + o(x^3) $.
Quindi il risultato è uno fratto l'altro!
Il problema, se mai, ti si può presentare nel calcolo di alcuni limiti, in cui magari puoi avere il dubbio di dover sviluppare alla stessa precisione sia numeratore che denominatore; in questo caso la risposta, in generale, è no. Ti basta conoscere il termine che "domina" sugli altri, di tutto il resto non ti interessa!
In ogni caso il problema della divisione a cui accenni è piuttosto complicato. Si tratta infatti di effettuare divisioni tra serie di potenze e non tra polinomi ordinari. Una trattazione di questo argomento si trova sul libro di Lang Complex Analysis, secondo capitolo.
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