Divisione polinomiale per trovare asintoti obliqui / parabolici in funzioni fratte
Ciao ragazzi, a breve ho l'esame di analisi 1 e sto facendo una ripassatina di tutti gli argomenti. Mi è quasi tutto chiaro, tranne il calcolo di asintoti obliqui / curvilinei, che io personalmente trovo come la parte più lunga dello studio di funzione.
Un esempio: ho questa funzione
\(\displaystyle f(x) = \frac{-x^3+6x^2-12x+8}{3x-12} \)
La differenza dei gradi tra numeratore e denominatore è 2, pertanto ho un asintoto parabolico. Tuttavia, tutta la procedura è abbastanza lunga e inoltre dovrei farlo sia per $+\infty$ che per $-\infty$. Con la nuova modalità d'esame d'esame a distanza i tempi sono ridotti quindi devo cercare di minimizzare i tempi.
Tuttavia, il prof ha accennato una volta che effettuando la divisone polinomiale tra numeratore e denominatore e prendendo il quoziente ne ricavo esattamente l'equazione dell'asintoto obliquo o parabolico a seconda dei casi.
Nel caso della funzione menzionata sopra questo caso è verificato, tuttavia ho alcune domande a riguardo:
Un esempio: ho questa funzione
\(\displaystyle f(x) = \frac{-x^3+6x^2-12x+8}{3x-12} \)
La differenza dei gradi tra numeratore e denominatore è 2, pertanto ho un asintoto parabolico. Tuttavia, tutta la procedura è abbastanza lunga e inoltre dovrei farlo sia per $+\infty$ che per $-\infty$. Con la nuova modalità d'esame d'esame a distanza i tempi sono ridotti quindi devo cercare di minimizzare i tempi.
Tuttavia, il prof ha accennato una volta che effettuando la divisone polinomiale tra numeratore e denominatore e prendendo il quoziente ne ricavo esattamente l'equazione dell'asintoto obliquo o parabolico a seconda dei casi.
Nel caso della funzione menzionata sopra questo caso è verificato, tuttavia ho alcune domande a riguardo:
[*:xim7yqis]Questa procedura è valida per ogni funzione fratta? [/*:m:xim7yqis]
[*:xim7yqis]L'equazione dell'asintoto risultante dal quoziente vale sia per $+\infty$ che per $-\infty$? In tal caso anche se non volessi usare la divisione polinomiale mi basterebbe vedere solo il limite per $+\infty$ e non per $-\infty$ (o viceversa)[/*:m:xim7yqis]
[*:xim7yqis]Ci sono altri metodi per velocizzare il calcolo di asintoti di questo tipo? Anche metodi per sapere quando potrebbero esserci asintoti particolare in funzioni non fratte (esponenziali/logaritmiche)[/*:m:xim7yqis][/list:u:xim7yqis]
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto, buona giornata
Risposte
Ciao cidra,
La funzione $ f(x) = \frac{-x^3+6x^2-12x+8}{3x-12} = - (x - 2)^3/(3(x - 4)) $ proposta ha un asintoto verticale di equazione $x = 4 $ ed un asintoto parabolico di equazione $y = -1/3 x^2 + 2/3 x - 4/3 $
Quanto al resto potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
La funzione $ f(x) = \frac{-x^3+6x^2-12x+8}{3x-12} = - (x - 2)^3/(3(x - 4)) $ proposta ha un asintoto verticale di equazione $x = 4 $ ed un asintoto parabolico di equazione $y = -1/3 x^2 + 2/3 x - 4/3 $
Quanto al resto potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
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