Divergenza o convergenza di una serie
ciao a tutti
non riesco ancora bene a capire come sapere se una serie converge o diverge..
ho capito che ci sono diversi criteri di convergenza e si dovrebbe utilizzare quella più opportuna per sapere se una serie converge...
dopo aver letto letto un paio di dispense su internet e visto qualche esempio ho provato a farne qualcuno io...
usando la regola di prendere i termini che tendono piu velocemente a infinito questa serie diventa -1/n quindi
tende a - infinito e di conseguenza la serie diverge a meno infinito.
usando sempre la stessa procedura di prima si ottine -1/n^2 quindi tende sempre a meno infinito ma purtroppo questa serie è convergente..
qualcuno mi sa spiegare il perchè?
grazie mille
non riesco ancora bene a capire come sapere se una serie converge o diverge..
ho capito che ci sono diversi criteri di convergenza e si dovrebbe utilizzare quella più opportuna per sapere se una serie converge...
dopo aver letto letto un paio di dispense su internet e visto qualche esempio ho provato a farne qualcuno io...
usando la regola di prendere i termini che tendono piu velocemente a infinito questa serie diventa -1/n quindi
tende a - infinito e di conseguenza la serie diverge a meno infinito.
usando sempre la stessa procedura di prima si ottine -1/n^2 quindi tende sempre a meno infinito ma purtroppo questa serie è convergente..
qualcuno mi sa spiegare il perchè?
grazie mille
Risposte
Provo ad aiutarti io, anche se non sono un "cervellone" della matematica 
.
Per sapere se una serie converge o diverge, si utilizzano determinati criteri: il criterio del confronto, il criterio del confronto asintotico, il criterio del rapporto e il criterio della radice (questi sono i principali). A seconda della serie che hai davanti, si utilizza uno piuttosto di un altro. Tuttavia, il criterio del confronto e del confronto asintotico (quello che serve nei tuoi due esempi) funzionano solo se tu già conosci il comportamento di alcune serie note a priori: la serie armonica, la serie geometrica e la serie telescopica. La prima serie che hai postato si comporta asintoticamente come la serie armonica di ordine alfa, con alfa=1, quindi diverge. La seconda serie invece si comporta asintoticamente come la serie armonica di ordine alfa, con alfa=2, quindi si sa già che questa converge.
Ti consiglio di cercare e studiare le 3 serie che ti ho elencato (armonica, geometrica, telescopica) e i 4 criteri (in particolare quello del confronto asintotico che serve nei tuoi due esempi).
.Per sapere se una serie converge o diverge, si utilizzano determinati criteri: il criterio del confronto, il criterio del confronto asintotico, il criterio del rapporto e il criterio della radice (questi sono i principali). A seconda della serie che hai davanti, si utilizza uno piuttosto di un altro. Tuttavia, il criterio del confronto e del confronto asintotico (quello che serve nei tuoi due esempi) funzionano solo se tu già conosci il comportamento di alcune serie note a priori: la serie armonica, la serie geometrica e la serie telescopica. La prima serie che hai postato si comporta asintoticamente come la serie armonica di ordine alfa, con alfa=1, quindi diverge. La seconda serie invece si comporta asintoticamente come la serie armonica di ordine alfa, con alfa=2, quindi si sa già che questa converge.
Ti consiglio di cercare e studiare le 3 serie che ti ho elencato (armonica, geometrica, telescopica) e i 4 criteri (in particolare quello del confronto asintotico che serve nei tuoi due esempi).
grazie mille per la risposta...ho studiato le cose che mi hai consigliato e sono riuscito a fare gli esercizi giusti!!
io tra 10 giorni ho l'esame di analisi 1.. siccome è la prima volta che faccio questo esame..secondo te quando svolgerò gli esercizi sulla divergenza o non dovrò anche scrivere del perche della mia risposta? oppure questo me lo chiederà solo all'orale?
un ultima domanda
queste che tipo di serie sono?
e con quali criteri potrei sapere se divergono convergono?
ti ringrazio ancora mi hai veramente dato qualche speranza di poter riuscire a superare sto esame
st
io tra 10 giorni ho l'esame di analisi 1.. siccome è la prima volta che faccio questo esame..secondo te quando svolgerò gli esercizi sulla divergenza o non dovrò anche scrivere del perche della mia risposta? oppure questo me lo chiederà solo all'orale?
un ultima domanda
queste che tipo di serie sono?
e con quali criteri potrei sapere se divergono convergono?
ti ringrazio ancora mi hai veramente dato qualche speranza di poter riuscire a superare sto esame
st
Per quanto riguarda l'esame... non ti so dire praticamente nulla . Io ho appena iniziato a fare l'uni, non ho ancora dato esami e non sto nemmeno facendo analisi 1. Da quello che mi hanno detto, devi comunque far capire il perchè dei passaggi che fai. Insomma, devi dimostrare che le cose non le hai scritte a caso ma che hai seguito un determinato filone logico.
Per quanto riguarda la prima serie... a me pare la classica serie geometrica. In particolare quella da te postata sarà convergente per $|a/(a+1)|<1$ $=>$ $a>(-1/2)$
La seconda invece è una serie a segni negativi (la riconosci dalla parte iniziale $(-1)^n$). Per questo tipo di serie devi usare due criteri particolari che non ti ho citato prima: il "criterio" della convergenza assoluta e il criterio di Leibniz (ti consiglio caldamente di studiare bene entrambi). Nel tuo caso, quello della convergenza assoluta non ti può aiutare, quindi si usa l'altro. Lascio a te lo svolgimento dell'esercizio.
. Io ho appena iniziato a fare l'uni, non ho ancora dato esami e non sto nemmeno facendo analisi 1. Da quello che mi hanno detto, devi comunque far capire il perchè dei passaggi che fai. Insomma, devi dimostrare che le cose non le hai scritte a caso ma che hai seguito un determinato filone logico.Per quanto riguarda la prima serie... a me pare la classica serie geometrica. In particolare quella da te postata sarà convergente per $|a/(a+1)|<1$ $=>$ $a>(-1/2)$
La seconda invece è una serie a segni negativi (la riconosci dalla parte iniziale $(-1)^n$). Per questo tipo di serie devi usare due criteri particolari che non ti ho citato prima: il "criterio" della convergenza assoluta e il criterio di Leibniz (ti consiglio caldamente di studiare bene entrambi). Nel tuo caso, quello della convergenza assoluta non ti può aiutare, quindi si usa l'altro. Lascio a te lo svolgimento dell'esercizio.
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