Divergenza e rotore

[aduri]

Salve a tutti,
sarà l'estate ma non ricordo assolutamente i passaggi matematici per cui:
se la divergenza di A=0 e si è quindi in presenza di un campo solenoidale (curve di campo chiuse su stesse), A può essere espresso come il rotore di un altro vettore B.

Ciao
Antonio

[pat871]

Di solito si determina tale funzione risolvendo un sistema di equazioni alle derivate parziali. Infatti quello che affermi te è soltanto un caso particolare del Lemma di Poincaré (che adesso non sto a dire), la cui dimostrazione si basa su risolvere un determinato sistema di equazioni alle derivate parziali.

Sia$A = (A^1(x,y,z), A^2(x,y,z), A^3(x,y,z))$ un campo vettoriale (dato). $\di v A = 0$ implica che $A_x^1 + A_y^2 + A_z^3 = 0$. (Con $A_x^1$ intendo la derivata parziale di $A^1$ in $x$)

Vogliamo determinare $B = (B^1(x,y,z), B^2(x,y,z), B^3(x,y,z))$ tale che $\rot B = A$. Cioè

$((B_z^2 - B_y^3),(B_x^3 - B_z^1),(B_y^1 - B_x^2)) = ((A_x),(A_y),(A_z))$.

Quindi abbiamo 4 equazioni per 3 funzioni a 3 incognite. Sistema che è sovradeterminato e segue dalla teoria delle equazioni differenziali che ha sempre una soluzione. Per determinare esplicitamente $B$ dovresti risolvere il sistema associato.

[alle.fabbri]

Ciao! Procedi costruendo esplicitamente B a partire da A. Qui trovi il percorso della dimostrazione, senza passaggi. Ti faccio notare che questa cosa funziona se il tuo campo di partenza è tale da far convergere l'integrale del link.

[aduri]

Tutto chiaro grazie dell'aiuto.

Antonio