Divergenza di una serie,vorrei capire dove sta il mio errore
Salve a tutti, avrei una questione da esporvi. Tutti sappiamo che tale serie $\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n*ln(n)}
è divergente (dato che vale che $\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n*ln^α (n)}$ è divergente se α$<=$ 1)
Ora però, utilizzando il metodo degli infinitesimi mi risulta che n è un infinito di ordine 1(con n$rarr$ $oo$), mentre ln(n) è un infinito di ordine minore od uguale a qualsiasi ordine(come dice il mio professore di analisi), dunque la frazione $\frac{1}{n*ln(n)}$ è un infinitesimo di ordine maggiore di 1, ( 1 + qualche cosa). E per il criterio degli infinitesimi,la serie
$\sum_{n=1}^\infty\a_n$ con $a_n$ infinitesimo di ordine > 1 è convegente, dunque anche la serie scritta all'inizio essendo un infinitesimo di ordine 1 + qualche cosa, dovrebbe essere convergente per tale criterio. Dove sbaglio nel mio ragionamento? Grazie
è divergente (dato che vale che $\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n*ln^α (n)}$ è divergente se α$<=$ 1)
Ora però, utilizzando il metodo degli infinitesimi mi risulta che n è un infinito di ordine 1(con n$rarr$ $oo$), mentre ln(n) è un infinito di ordine minore od uguale a qualsiasi ordine(come dice il mio professore di analisi), dunque la frazione $\frac{1}{n*ln(n)}$ è un infinitesimo di ordine maggiore di 1, ( 1 + qualche cosa). E per il criterio degli infinitesimi,la serie
$\sum_{n=1}^\infty\a_n$ con $a_n$ infinitesimo di ordine > 1 è convegente, dunque anche la serie scritta all'inizio essendo un infinitesimo di ordine 1 + qualche cosa, dovrebbe essere convergente per tale criterio. Dove sbaglio nel mio ragionamento? Grazie
Risposte
Esiste un simpatico teorema che lega la convergenza di serie e integrali impropri che afferma che [tex]$\int_1^{+\infty} f(x) dx$[/tex] e [tex]$\sum_{n=1}^\infty f(n)$[/tex] o sono entrambi convergenti o sono entrambi divergenti.
Nel tuo caso [tex]$f(x) = \frac{1}{x \log(x)}$[/tex], la sua primitiva [tex]$F(x) = \log(\log(x)) + c$[/tex] e si può facilmente vedere come per [tex]$x\rightarrow +\infty$[/tex] [tex]$F(x) \rightarrow +\infty$[/tex], rendendo l'integrale improprio divergente, e di conseguenza anche la serie associata divergente.
Il criterio che tu enunci io personalmente non l'ho mai sentito, di solito si utilizza il criterio del confronto (con una serie notevole), il criterio del rapporto asintotico per testare la convergenza (nel caso di serie a termini positivi).
Nel tuo caso [tex]$f(x) = \frac{1}{x \log(x)}$[/tex], la sua primitiva [tex]$F(x) = \log(\log(x)) + c$[/tex] e si può facilmente vedere come per [tex]$x\rightarrow +\infty$[/tex] [tex]$F(x) \rightarrow +\infty$[/tex], rendendo l'integrale improprio divergente, e di conseguenza anche la serie associata divergente.
Il criterio che tu enunci io personalmente non l'ho mai sentito, di solito si utilizza il criterio del confronto (con una serie notevole), il criterio del rapporto asintotico per testare la convergenza (nel caso di serie a termini positivi).
Ne sono a conoscenza del teorema che hai appena citato, infatti si usa proprio quello per dimostrare che $\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n*ln^α (n)}$ è divergente se α$<=$ 1
ma io volevo sapere dove sbagliavo nel mio ragionamento dato che è pure vero quel criterio che ho detto (http://www.batmath.it/matematica/a_serie/criteri.htm).
ma io volevo sapere dove sbagliavo nel mio ragionamento dato che è pure vero quel criterio che ho detto (http://www.batmath.it/matematica/a_serie/criteri.htm).
Credo (spero, cmq ci vorrebbe la dimostrazione dello stesso) che in quel criterio l'ordine di grandezza sia da intendere polinomiale.
Nel tuo caso hai un logaritmo e quindi [tex]$\log(n) = O(n^\alpha)$[/tex] per ogni [tex]$\alpha > 0$[/tex], infatti [tex]$\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{\log(n)}{n^\alpha} = 0$[/tex] per ogni [tex]$\alpha > 0$[/tex].
Nel tuo caso hai un logaritmo e quindi [tex]$\log(n) = O(n^\alpha)$[/tex] per ogni [tex]$\alpha > 0$[/tex], infatti [tex]$\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{\log(n)}{n^\alpha} = 0$[/tex] per ogni [tex]$\alpha > 0$[/tex].
Il citerio che usi è sbagliato.
Come ho avuto modo di dire già altre volte, quello giusto è il seguente.
Nel tuo caso questo criterio non si applica: infatti la tua [tex]$(a_n)$[/tex] è un infinitesimo d'ordine maggiore di [tex]$1$[/tex] e però ha ordine minore di ogni [tex]$p>1$[/tex].
Alla tua serie, però, si possono applicare a scelta o il criterio integrale o il criterio di condensazione di Cauchy.
Come ho avuto modo di dire già altre volte, quello giusto è il seguente.
Affinché una serie a termini positivi [tex]\sum a_n[/tex] converga è sufficiente che la successione [tex]$(a_n)$[/tex] sia infinitesimo d'ordine maggiore di un numero [tex]$p>1$[/tex].
Se invece [tex]$(a_n)$[/tex] è una successione infinitesima d'ordine [tex]$\leq 1$[/tex], la serie non converge.
Nel tuo caso questo criterio non si applica: infatti la tua [tex]$(a_n)$[/tex] è un infinitesimo d'ordine maggiore di [tex]$1$[/tex] e però ha ordine minore di ogni [tex]$p>1$[/tex].
Alla tua serie, però, si possono applicare a scelta o il criterio integrale o il criterio di condensazione di Cauchy.
Grazie per la risposta credo di aver capito!
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