Divergenza di F

[ninja986]

Sia F il campo vettoriale cosi definito:

$F(x,y) = (\int_(Q(x,y)) e^(s^2+t^2) dsdt,\int_(Q(x,y)) e^-(s^2+t^2) dsdt)$

dove $Q(x,y)=[0,x] x [0,y]$. Si determini divF.

Siccome la divergenza di F è $DIVF=(\partialF_1)/(\partials) + (\partialF_2)/(\partialt)$ ho che:

$DIVF=(\int_(Q(x,y)) (\partiale^(s^2+t^2))/(\partials) dsdt) + (\int_(Q(x,y)) (\partiale^-(s^2+t^2))/(\partialt) dsdt)$....

Quindi effettuando l'integrale su $DIVF=(e^(s^2)\int_0^y e^(t^2) dt) + (e^-(t^2)\int_0^x e^-(s^2) dt) $

Ora non so piu continuare...e giusto fino qua il procedimento??

[gugo82]

Scusa ninja, ma le variabili rispetto alle quali devi derivare non sono quelle dell'integrando, ma quelle che figurano nell'insieme d'integrazione...

Per risolvere il problema devi tenere presenti le formule di riduzione degli integrali doppi sui rettangoli.

[ninja986]

$DIVF=(\partial(\int_(Q(x,y)) e^(s^2+t^2) dsdt))/(\partialx) + (\partial(\int_(Q(x,y)) e^-(s^2+t^2) dsdt))/(\partialy) $....

Solo che ora ottengo che gli integrali sono $ \int_0^y e^(t^2) dt$

$\int_(Q(x,y)) e^(s^2+t^2) dsdt = \int_0^x e^(s^2) (\int_0^y e^(t^2) dt)ds $

$\int_(Q(x,y)) e^-(s^2+t^2) dsdt = \int_0^x e^-s^2 (\int_0^y e^-t^2 dt)ds $

Come li risolvo???...

[gugo82]

Formule di riduzione (ossia scrivi gli integrali doppi come prodotti di integrali "semplici") e Teorema fondamentale del calcolo integrale (nella parte di derivazione della funzione integrale).

[alle.fabbri]

Non puoi risolverli in forma chiusa, cioè scrivendo esplicitamente il risultato perchè la gaussiana $e^{-x^2}$ non ha una primitiva esplicita. Per il tuo esercizio puoi usare il teorema fondamentale del calcolo integrale per derivare gli integrali.
Siccome tu sai che se f è continua esiste F, continua, tale che
$F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) dx $
adesso derivando questa espressione
$ \frac{d }{d b} \int_a^b f(x) dx = \frac{d F}{d b} = f(b)$

Aiuta?

[ninja986]

quindi dovrei ottenere, utilizzando le formule di riduzione e il teorema del calcolo integrale, che

$DIV F=e^(x^2) \int_0^y e^(t^2) dt +e^(-y^2) \int_0^x e^(-s^2) ds $

giusto???...poi cosa faccio??

[ninja986]

quindi dovrei ottenere, utilizzando le formule di riduzione e il teorema del calcolo integrale, che

$DIV F=e^(x^2) \int_0^y e^(t^2) dt +e^(-y^2) \int_0^x e^(-s^2) ds $

giusto???...poi cosa faccio??

[alle.fabbri]

poi basta...finito l'esercizio. L'integrale della gaussiana su un intervallo limitato non si può esplicitare più di così, ha dei valori tabellati a seconda dell'intervallo, al limite in certi casi viene introdotta una funzione speciale che si chiama error function Erf(x) definita appunto da
$Erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^(- s^2) ds$
che gode di certe proprietà e di cui si conoscono diverse espansioni in serie. Quindi, se vuoi, puoi sostituire la Erf(x) nell'ultimo passaggio......non cambia sostanzialmente nulla, è solo un altro modo per dire che non esiste primitiva esplicita.