Disuguaglianze norme matriciali
Ciao, amici! Trovo scritto che, definite le norme di matrici $A\in M_{m,n}(\mathbb{C})$\[\|A\|_1=\max_{1\leq j\leq n}\Bigg(\sum_{i=1}^m|a_{ij}|\Bigg), \|A\|_2=\max_{\|\mathbf{x}\|=1}\|A\mathbf{x}\|\]
dove ho indicato con \(\|\mathbf{x}\|\) la norma euclidea di $\mathbf{x}$,
si ha la disuguaglianza\[\frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_{\infty}\leq\|A\|_2\leq\sqrt{m}\|A\|_{\infty}\]ma non riesco a dimostrarle...
Il testo consigliato per le dimostrazioni del capitolo nel mio libro è Golub-Van Loan, Matrix computations, ma considera not hard la dimostrazione di questa disuguaglianza e la lascia come esercizio al lettore, ma io, come lettore, non riesco a risolvere questo esercizio...
Qualcuno potrebbe gettarmi un salvagente?
$\infty$ grazie a tutti...!!!
dove ho indicato con \(\|\mathbf{x}\|\) la norma euclidea di $\mathbf{x}$,
si ha la disuguaglianza\[\frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_{\infty}\leq\|A\|_2\leq\sqrt{m}\|A\|_{\infty}\]ma non riesco a dimostrarle...
Il testo consigliato per le dimostrazioni del capitolo nel mio libro è Golub-Van Loan, Matrix computations, ma considera not hard la dimostrazione di questa disuguaglianza e la lascia come esercizio al lettore, ma io, come lettore, non riesco a risolvere questo esercizio...
Qualcuno potrebbe gettarmi un salvagente?
$\infty$ grazie a tutti...!!!
Risposte
Tentativi tuoi?
Mi scuso per non aver scritto qualcuno dei miei penosi tentativi e anche per aver definito \(\|A\|_1\) invece di \(\|A\|_{\infty}\): ho un problema tecnico che mi impedisce di controllare l'anteprima come si deve e non riesco a ricontrollare a sufficienza...
Definita $\||A\||_{\infty}=\max_{1\leq i\leq m}(\sum_{j=1}^n|a_{ij}|)$ e $\||A\||_1=\max_{1\leq j\leq n}(\sum_{i=1}^m|a_{ij}|)$ noto che, sapendo che \(\|A\|_2=\|A^\text{H}\|_2\) dove $A^\text{H}$ è la trasposta coniugata di $A$, si ha che
\[\frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_{\infty}\leq\|A\|_2\leq\sqrt{m}\|A\|_{\infty}\text{ e }\frac{1}{\sqrt{m}}\|A\|_1\leq\|A\|_2\leq\sqrt{n}\|A\|_1\]
sono equivalenti, quindi basta dimostrarne una.
Ho cercato di utilizzare il fatto che so che per ogni \(\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\) le norme $p$ soddisfano le disuguaglianze \(\|\mathbf{x}\|_2\leq \|\mathbf{x}\|_1\leq\sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_2\) e che \(\|\mathbf{x}\|_{\infty}\leq \|\mathbf{x}\|_2\leq\sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_{\infty}\), ma, nonostante mi accorga adesso che, se non sbaglio, l'ultima di esse prova che, chiamato $\hat{\mathbf{x}}$ il versore che massimizza \(\|A\mathbf{x}\|_{2}\), vale la disuguaglianza\[ \max_{\mathbf{x}\ne\mathbf{0}}\frac{\|A\mathbf{x}\|_2}{\|\mathbf{x}\|_2}\leq\sqrt{m}\|A\hat{\mathbf{x}}\|_{\infty}\leq\sqrt{m}\max_{\mathbf{y}\ne\mathbf{0}}\frac{\|A\mathbf{y}\|_{\infty}}{\|\mathbf{y}\|_{\infty}}=\sqrt{m}\|A\|_{\infty}\]
non riesco però ad applicare queste disuguaglianze a \[\frac{1}{\sqrt{n}}\max_{\mathbf{y}\ne\mathbf{0}}\frac{\|A\mathbf{y}\|_{\infty}}{\|\mathbf{y}\|_{\infty}}\leq \max_{\mathbf{x}\ne\mathbf{0}}\frac{\|A\mathbf{x}\|_2}{\|\mathbf{x}\|_2}\]quindi suppongo che sia un'altra la strada da percorrere per dimostrare quest'ultima disuguaglianza, anche se non saprei quale...
$\infty$ grazie ancora per la pazienza...
Definita $\||A\||_{\infty}=\max_{1\leq i\leq m}(\sum_{j=1}^n|a_{ij}|)$ e $\||A\||_1=\max_{1\leq j\leq n}(\sum_{i=1}^m|a_{ij}|)$ noto che, sapendo che \(\|A\|_2=\|A^\text{H}\|_2\) dove $A^\text{H}$ è la trasposta coniugata di $A$, si ha che
\[\frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_{\infty}\leq\|A\|_2\leq\sqrt{m}\|A\|_{\infty}\text{ e }\frac{1}{\sqrt{m}}\|A\|_1\leq\|A\|_2\leq\sqrt{n}\|A\|_1\]
sono equivalenti, quindi basta dimostrarne una.
Ho cercato di utilizzare il fatto che so che per ogni \(\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\) le norme $p$ soddisfano le disuguaglianze \(\|\mathbf{x}\|_2\leq \|\mathbf{x}\|_1\leq\sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_2\) e che \(\|\mathbf{x}\|_{\infty}\leq \|\mathbf{x}\|_2\leq\sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_{\infty}\), ma, nonostante mi accorga adesso che, se non sbaglio, l'ultima di esse prova che, chiamato $\hat{\mathbf{x}}$ il versore che massimizza \(\|A\mathbf{x}\|_{2}\), vale la disuguaglianza\[ \max_{\mathbf{x}\ne\mathbf{0}}\frac{\|A\mathbf{x}\|_2}{\|\mathbf{x}\|_2}\leq\sqrt{m}\|A\hat{\mathbf{x}}\|_{\infty}\leq\sqrt{m}\max_{\mathbf{y}\ne\mathbf{0}}\frac{\|A\mathbf{y}\|_{\infty}}{\|\mathbf{y}\|_{\infty}}=\sqrt{m}\|A\|_{\infty}\]
non riesco però ad applicare queste disuguaglianze a \[\frac{1}{\sqrt{n}}\max_{\mathbf{y}\ne\mathbf{0}}\frac{\|A\mathbf{y}\|_{\infty}}{\|\mathbf{y}\|_{\infty}}\leq \max_{\mathbf{x}\ne\mathbf{0}}\frac{\|A\mathbf{x}\|_2}{\|\mathbf{x}\|_2}\]quindi suppongo che sia un'altra la strada da percorrere per dimostrare quest'ultima disuguaglianza, anche se non saprei quale...
$\infty$ grazie ancora per la pazienza...
...se non dico st*****ate forse ci sono: chiamo \(k^{\ast}\) l'indice della riga \(A^{(k^{\ast})}\) i moduli dei cui coefficienti sono i termini della sommatoria rappresentata da \(\|A\|_{\infty}\), e \(\mathbf{e}_{k^{\ast}}=(0,...,0,1,0,...,0)\) il versore che ha $1$ come \(k^{\ast}\)-esima componente e 0 altrove. Mi sembra chiaro, se non do definitivamente i numeri, che\[\|A\|_{\infty}=\|A^{(k^{\ast})}\|_1\leq\sqrt{n}\|A^{(k^{\ast})}\|_2=\sqrt{n} \|A^\text{H}\mathbf{e}_{k^{\ast}}\|_2\leq\sqrt{n}\max_{\|\mathbf{x}\|_2 =1}\|A^\text{H}\mathbf{x}\|_2=\sqrt{n}\|A^\text{H}\|_2=\sqrt{n}\|A\|_2\]dove in \(\|A^{(k^{\ast})}\|_1\leq\sqrt{n}\|A^{(k^{\ast})}\|_2\) si vede un caso della disuguaglianza \(\|\mathbf{x}\|_2\leq \|\mathbf{x}\|_1\leq\sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_2\)...
...se non do i numeri...
Grazie di cuore a Gugo per l'intervento già fatto e a chiunque interverrà!!!
...se non do i numeri...
Grazie di cuore a Gugo per l'intervento già fatto e a chiunque interverrà!!!
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