Disuguaglianze integrali

[Lebesgue]

Salve a tutti. Per un esame che sto preparando, dovrei dimostrare le seguenti disuguaglianze:

$4/(\pi^2) \sum_(k=1)^N 1/k <= \int_(-1/2)^(1/2) |\sin((2N+1)\pi x)| / |\sin(\pi x)| dx <= 2 + \pi/4 + 4/(\pi^2) \sum_(k=1)^N 1/k$,

dove $N >= 0$ è un intero fissato.

Io sono arrivato a provare che, per $|x| <= 1/2$, vale che: $|1/sin(\pi x) - 1/(\pi x) | \le \pi/4$, ma non so bene come usare questa diseguaglianza per stimare l'integrale centrale.

Quello che mi era venuto in mente di fare è:

$|\sin((2N+1)\pi x)| / |\sin(\pi x)| = |\sin((2N+1)\pi x)| \cdot |1/|\sin(\pi x)| - 1/|\pi x| + 1/|\pi x| | <= $

$<= |\sin((2N+1)\pi x)| \cdot ( | 1/|\sin(\pi x)| - 1/|\pi x| | + 1/|\pi x| ) <= |\sin((2N+1)\pi x) | (\pi/4 + 1/|\pi x| )$

Da cui l'integrale di partenza
$\int_(-1/2)^(1/2) |\sin((2N+1)\pi x)| / |\sin(\pi x)| dx <= \int_(-1/2)^(1/2) \pi/4 |\sin((2N+1)\pi x)| + |\sin((2N+1)\pi x)| / |\pi x| dx <= $

$<= \pi/4 + \int_(-1/2)^(1/2) |\sin((2N+1)\pi x)| / |\pi x| dx $

E qui purtroppo mi blocco.
Mentre invece non so bene come dimostrare l'altra disguaglianza con il $>=$.

Grazie a chi potrà aiutarmi!

[Studente Anonimo]

Con le somme di Riemann ci fai qualcosa? Ma ci ho pensato meno di un minuto, non vorrei mandarti fuori strada.

[Lebesgue]

"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":Con le somme di Riemann ci fai qualcosa? Ma ci ho pensato meno di un minuto, non vorrei mandarti fuori strada.

Più che altro, non riesco a capire da dove esca fuori la somma $\sum_(k=1)^N 1/k$, perché quel $N$ è fissato sin dall'inizio, e ciò mi crea una confusione non da poco

[Studente Anonimo]

"Lebesgue":
Più che altro, non riesco a capire da dove esca fuori la somma $\sum_(k=1)^N 1/k$, perché quel $N$ è fissato sin dall'inizio, e ciò mi crea una confusione non da poco

Beh ma appare nell'argomento del seno a numeratore dell'integranda. Se provi a plottare \( x \mapsto | \sin( (2N + 1) \pi x) | / | \sin(\pi x ) | \) in \( [-1/2, 1/2]\) ti rendi conto che il numero di gibbe (i.e. massimi locali) cresce come \(N\). Vedi se riesci a costruire una minorante fatta di rettangoli (o simili).

[Lebesgue]

mmmm okok ci provo, effettivamente potrebbe funzionare